доказване на равенства с математическа индукция

[lucas]

Реших я задачата, но незнам дали мисля правилно.
Докажете, че за всяко естествено число n е изпълнено равенството:

1.2 +2.3 + 3.4 +...+n(n+1) = [tex]\frac{n(n+1)(n+2)}{3 }[/tex]

Решение:
при n=1 => равенството е изпълнено
при n=k => 2.3 +3.4+...+k(k+1) = [tex]\frac{k(k+1)(k+2)}{3 }[/tex]
тогава при n=k+1 => 2.3 +3.4 +...+ (k+1)((k+1)+1) = [tex]\frac{k+1((k+1)+1)((k+1)+2)}{3 }[/tex] => равенството е изпълнено за всяко n

пробвах да я реша и така:
при n=k+1 => 2.3+3.4+...+k(k+1) + (k+2) = [tex]\frac{n(n+1)(n+2)}{3 }[/tex] + (k+2)=[tex]\frac{((k+1)+1)(k(k+1)+3)}{3 }[/tex] => равенството е изпълнено за всяко n
Правилно ли съм я решил ???

[Реклама]

[soldier_vl]

[lucas]

Мерси много

[xshadow]

някой ще напише ли цялото решение, защото аз получавам друго и не знам къде бъркам

1.2 +2.3 + 3.4 +...+n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3
при n = 1 е изпълнено равенството
нека n = k
1.2 +2.3 + 3.4 +...+k(k+1) = k(k+1)(k+2)/3
при n = k+1
1.2 +2.3 + 3.4 +...+k(k+1) + (k+1)(k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)/3

и след това не знам ккаво да правя
нали трябва това k(k+1) + (k+1)(k+2) да е равно на това (k+1)(k+2)(k+3)/3 ?

[r2d2]

Eто цялото решение. Имам чувството (гледайки и горните постове), че сте в "пълен туман"!
Да се докаже:
[tex] (*) \; 1.2 +2.3 + 3.4 +...+n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}[/tex]
при n = 1 имаме [tex]1.2=\frac {1.2.3}{3}[/tex], което е вярно.
Допускаме, че (*) e вярно за n = k, т.е. че е изпълнено:
[tex] 1.2 +2.3 + 3.4 +...+k(k+1) = \frac{k(k+1)(k+2)}{3} [/tex].

Tрябва дa го докажем за n = k+1, т.е. че е вярно:
[tex] 1.2 +2.3 + 3.4 +...+k(k+1) + (k+1)(k+2)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} [/tex]
Oт допускането:

[tex] 1.2 +2.3 + 3.4 +...+k(k+1) + (k+1)(k+2)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)=[/tex]
[tex] =(k+1)(k+2)(\frac{k}{3}+1)=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} \; .[/tex] Равенството е доказано.

[xyz]

Между другото считам, че е удачно да отбележа, че тази задача може да се реши и комбинаторно. Само ще направим малка замяна, т.е. n ще го намалим с 2. Така да се докаже:
[tex]{n(n-1)(n-2) \over 3}=(n-1)(n-2)+(n-2)(n-3)+\dots[/tex].
От n точки колко триъгълника можем да образуваме? Отговорът е: първата точка я избираме по n начина, следващата можем по n-1, а последната по n-2. По този начин всеки триъгълник ABC ще го броим по 6 пъти:
ABC ACB BAC BCA CAB CBA
и следователно броят е:
[tex]{n(n-1)(n-2) \over 6}[/tex].
Сега да преброим по друг начин. Избираме върх и по колко начина можем да изберем останалата страна. Подобно на по-горе показваме, че е:
[tex]{(n-1)(n-2) \over 2}[/tex],
защото единият връх взимаме по n-1 начина, а другия по n-2. Делим на 2, защото всяка отсечка BC я броим отделно и като CB.
Така - по-горе изброихме всички триъгълници при фиксиран връх. А колко са останалите? Много просто изхвърляме избрания връх и пак избираме някой от останалите. Прилагаме същите разсъждения, като по-горе и вече получаваме:
[tex]{(n-2)(n-3) \over 2}[/tex],
триъгълника (това е заради изхвърления връх, т.е. все едно намаляме n с 1).
Ясно е, че можем да продължим горната процедура, което ще покаже, че броят на триъгълниците е:
[tex]{(n-1)(n-2) \over 2}+{(n-2)(n-3) \over 2}+{(n-3)(n-4) \over 2}+\dots[/tex]. Приравнявайки на вече намерената бройка и умножавайки по 2 получаваме исканата формула.

Разбира се, този метод е по-сложен от индукция, но понякога - при някои други задачи - е единственият възможен (или поне най-лесният).