Да се докаже неравенството...

[DevilFighter]

Да се докаже, че :

[tex]\sum\limits_{k = 0}^n {\frac{1}{{k!}}} = \frac{1}{{0!}} + \frac{1}{{1!}} + ........ +\frac{1}{{n!}} < 3\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\forall n \in N[/tex]

[Реклама]

[Relinquishmentor]

Това го има във всяко доказване на ограничеността на редицата на натуралното число.


[tex]\frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} +...+ \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{1.2} + \frac{1}{1.2.3} +...+ \frac{1}{1.2.3....(n-2)(n-1)n} < 1 + 1 +\frac{1}{2^1} + \frac{1}{2^2} +\frac{1}{2^3} +...+ \frac{1}{2^{n-1} } = [/tex]

Това последното е сума на геометрична прогресия с частно [tex]\frac{1}{2}[/tex] и с общ член,който може да се намери по известната формула:

[tex]= 1 + \frac{1 - \frac{1}{2^n }}{1 - \frac{1}{2}} = 1 + 2 - \frac{1}{2^{n - 1}} < 3 [/tex]

[DevilFighter]

Ето защо преди да реша тази задача ми беше дадено да докажа, че n! ≥ 2^n-1

Relinquishmentor, благодаря много за решението