числова редица - задача 2

[lucas]

Дадена е редицата с общ член
[tex]a_n=cos \alpha cos 2\alpha ... cos 2^n\alpha [/tex]

[tex](sin \alpha \ne 0)[/tex]

Докажете, че:

а) [tex]a_n=\frac{sin 2^{n+1}\alpha }{2^{n+1} sin \alpha}[/tex]

б) редицата е ограничена

[Реклама]

[ганка симеонова]

може да се ползува мат. индукция. очевидно при n=1 равенството е налице. тогава ще доклажем, че
[tex]a_{n+1}= a_{n}.cos2^{n+1}. \alpha [/tex]
[tex] a_{n+1}= \frac{sin2^{n+2}.\alpha }{ 2^{n+2}.sin\alpha }[/tex]
умножаваме и делим израза за [tex] a_{n+1} [/tex] с
[tex] sin2^{n+1}\alpha [/tex]
получаваме, че
[tex] a_{n+1}= a_{n}. \frac{sin2^{n+2}\alpha }{2.sin2^{n+1}\alpha } [/tex]
Прилагаме ф-та за синус от удвоен ъгъл
[tex] a_{n+1}=[/tex]
[tex] a_{n}.\frac{2sin2^{n+1}\alpha .cos2^{n+1}\alpha }{ 2.sin2^{n+1\alpha } [/tex]
[tex] a_{n+1}= a_{n}. cos2^{n+1}\alpha [/tex]

[Relinquishmentor]

Индукция...добре, но има и по-хубав и непосредствен начин. Преди всичко да забележим, че произведението се състои от n+1 члена.

[tex]cos \alpha cos 2\alpha ... cos 2^n\alpha = \frac{2 sin \alpha cos \alpha \, 2 sin 2\alpha cos 2\alpha \, 2sin 4\alpha cos 4\alpha... 2 sin 2^n \alpha cos 2^n \alpha}{2 sin \alpha\, 2 sin 2\alpha\, 2 sin 4\alpha... 2 sin 2^n\alpha\,}= \frac{sin 2\alpha\, sin 4\alpha \,sin 8\alpha...sin 2^{n+1}\alpha}{2 sin \alpha\, 2 sin 2\alpha\, 2 sin 4\alpha... 2 sin 2^n\alpha\ } = \frac{sin 2^{n+1} \alpha }{2^{n+1} sin \alpha} [/tex]

[tex]\lim_{n\to\infty}\,\frac{sin 2^{n+1} \alpha }{2^{n+1} sin \alpha} = 0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] редицата е ограничена.

[ганка симеонова]

Любими мой, ученико....