Интересна задача

[Niki_kl]

Ето една интересна задача, която с подходящия метод на решаване става много лесна.

Имаме 2 квадрата - ABCD и A₁B₁C₁D₁. Точките M, N, P, Q лежан съответно на AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁, като AM:MA₁=BN:NB₁=CP:PC₁=DQ:QD₁=m:n. Да се докаже че MNPQ e квадрат.

[Реклама]

[tanas]

[Niki_kl]

Ами моето решение е с ротация на вектори, което използва свойствто, че ако имаме ротация R, то R(a+b)=R(a)+R(b) или повече вектори (векторите съм и писал без стрелките отгоре) но ще пробвам и това. сега нямам време да напиша решението но може би утре или в други ден ще го напиша

[Niki_kl]

днес намерих време да напиша решението. Първо си избираме 2 вектора, примерно по 1 страна на всеки от квадратите, нека са вектор а и вектор b. техните образи са а₁ и b₁. изразяваме 3 от страните на фигурата, за която доказваме че е квадрат, като вектори чрез а,а₁,b,b₁.

като намирим образа на 1 от тях при ротация на + или -90 градуса (зависи от първоначалните вектори) и правилото (1) получаваме че 1ния вектор се преобразува в другия, от където те са равни и перпендикулярни,за другия излиза че и той е перпендикулярен и равен на 1ния от първите 2. => квадрат;

(равенствата се получават за дължината на отсечките)

(1) При ротаци R и вектори а и b:
R(a)=a₁
R(b)=b₁
=> R(a+b)= R(a) + R(b)
вярно е и за повече вектори.

(векторите съм ги писал без стрелкичките за по-бързо)




За предложената идея, с нея доказах че е успоредник, но не успях да изкарам че е квадрат без ротация на вектори, което свежда нещта да моето решение в общи линии. Моля, ако някой има решение без ротация да го постне.