числова редица - задача 1

[lucas]

Дадена е редицата с общ член [tex]a_n=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} [/tex]
Докажете, че
А) [tex]a_n=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right) [/tex]
Б) редицата е строго растяща
В) редицата е ограничена

[Реклама]

[Relinquishmentor]

[tex]\frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}) [/tex]

[tex]a_n = \frac{1}{2}(\frac{1}{1 } - \frac{1}{3}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) +...+ \frac{1}{2}(\frac{1}{2(n-1) -1} - \frac{1}{2(n-1) + 1}) + \frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1 }) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}.\frac{1}{2n+1} = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2n+1}) [/tex]

[tex]a_n = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2n+1}) [/tex]
[tex]a_{n+1} = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2(n+1)+1}) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2n+3}) [/tex]

[tex]a_{n+1} - a_n = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2n+3}) - \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2n+1}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2(2n+3)} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2(2n+1)}[/tex] = [tex]\frac{1}{2}\frac{2n + 3 - 2n - 1}{(2n+1)(2n+3)} = \frac{1}{(2n+1)(2n+3)} > 0 \text { if n}\in N[/tex]

Редицата [tex]a_n = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2n+1}) [/tex] е ограничена, защото не може да приема стойности > 1.

[lucas]

Не ми стана ясно как стана това:
... + [tex]\frac{1}{ 2}[/tex]([tex]\frac{1}{2n -1 }[/tex] - [tex]\frac{1}{ 2n+1} [/tex] ) =[tex]\frac{ 1}{ 2}[/tex] - [tex]\frac{1}{2 }[/tex] . [tex] \frac{1}{ 2n + 1 } [/tex]=... ?????

Всички останали събираеми се съкращават! Опитай да пишеш с ТЕХ! r2d2

[lucas]

Mnoo mersi , Relinquishmentor