Черноризец Храбър

[v1rusman]

Задачите са от темата за 2003 година 9-10 клас.Не успях да реша:

1.Сборът от катетите на правоъгълен триъгълник е 8.Върху хипотенизата външно за триъгълника е построен квадрат,Разстоянието от върха на правия ъгъл на триъгълника до центъра на квадрата е :
а) [tex] 2\sqrt{2}[/tex] б) [tex] 2\sqrt{3}[/tex] в) [tex] 4\sqrt{2}[/tex] г)[tex]4\sqrt{3}[/tex]

2.В дадена окръжност с радиус 1 е вписан квадрат.На колко е равен радиусът на окръжността,която се допира до дадената(окръжност) и минава през средите на две
срещуположни страни на квадрата?
а)2/3 б)3/4 в)5/6 г)\sqrt{3} /2

3.Ако 2.f(x)+f(1-x)=2.x-1 за всяко х,то f(1)= ?
а)0 б)1 в)2 г)-1 д)-2

4.Какъв е остатъкът от делението на
1^2003 + 2^2003 + 3^2003 +..... 2003^2003 с 2003 ?
а)0 б)1 в)1002 г)2002

[Реклама]

[tanas]

1. в)
2. а)
3. б)
А на 4.б) получавам.
Прав ли съм?
Редакция: на 4 получавам а), грешно съм на писам, че е б) (и аз минавам през Т. на Ферма)

[Titu_Andrescu]

1. Нека ABC е правоъгълният триъгълник и [tex]O[/tex] e центъра на квадрата от условието. Тогава очевидно [tex]ACBO[/tex] e вписан четириъгълник
([tex]\angle ACB + \angle AOB=180^\circ [/tex]). Тогава от теорема на Птоломеѝ за [tex]ACBO[/tex] имаме: [tex]AB.CO=AC.BO+BC.AO[/tex], т.е. [tex]sqrt{a^2+b^2}.x=b.\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{a^2+b^2}+a.\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{a^2+b^2}[/tex], т.е. [tex]x=\frac{\sqrt{2}}{2}(a+b)=4\sqrt{2}[/tex].

Отг. в


3. [tex]2f(x)+f(1-x)=2x-1[/tex], следователно за [tex]x=y[/tex] и [tex]x=1-y[/tex] от формулата ще получим:
[tex]2f(y)+f(1-y)=2y-1[/tex] и
[tex]2f(1-y)+f(1-(1-y))=2(1-y)-1[/tex]. T.e.
[tex]2f(y)+f(1-y)=2y-1[/tex] и
[tex]2f(1-y)+f(y)=-2y+1[/tex]. Събираме почленно двете равенства и получаваме, че [tex]f(y)=-f(1-y)[/tex],
заместваме с този резултат в едно от равенствата по-горе и получаваме, че[tex] f(y)=2y-1[/tex].
Нека [tex]y=1[/tex], тогава [tex]f(1)=1[/tex].

Отг. б

4. Малката теорема на Ферма гласи, че ако [tex]p[/tex] е просто число, то за всчко цяло число a, [tex]a^p\equiv a(mod p)[/tex], т.е. [tex]a^p-a[/tex] се дели без остатък на [tex]p[/tex].

Тъѝ като [tex]2003[/tex] e просто число, то от теоремата ще следвa, че
[tex](1^{2003}-1)+(2^{2003}-2)+..+(2002^{2003}-2002)+(2003^{2003}-2003)=1^{2003}+2^{2003}+..+2003^{2003}-(1+2+..+2003))=[/tex]
[tex]=1^{2003}+2^{2003}+..+2003^{2003}-(\frac{2003.2004}{2})[/tex] се дели на [tex]2003[/tex], но очевидно [tex]\frac{2003.2004}{2}[/tex]
също се дели на [tex]2003[/tex] и следователно и останалата част от сумата се дели на [tex]2003[/tex].

Отг. а

[r2d2]

Зад 4.
Oт [tex] a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^2+..+b^{2n})[/tex] следва, [tex] a^{2n+1}+b^{2n+1}[/tex] се дели на [tex]a+b[/tex] или, че
[tex](k^{2003}+(2003-k)^{2003})[/tex] се дели на 2003.
Остава да групираме събираемите.
Така минаваме а) без Ферма б) без да док. че 2003 е просто!

[r2d2]

Зад.1
Правим ротация с център О и ъгъл 90. СО става катет в равнобедрен правоъгълен триъгълник с хипотенуза АС+ВС.

[r2d2]

Зад.2
Лесно се смята, че страната на квадрата е √2. С Питагорова теорема r=3/4 (виж картиката).

[v1rusman]

Благодаря Ви много !