Вярно ли е, че?

[ins-]

Вярно ли е, че, ако в триъгълник ABC (нека да е остроъгълен за да е по-лесно)
с център на вписаната окръжност I и ортоцентър H е в сила равенството:
[tex]AI^{2} + BI^{2} + CI^{2} = AH^{2} + BH^{2} + CH^{2} [/tex]
то триъгълника е равностранен?

[Реклама]

[Nona]

[tex]|AI|^{2} + |BI|^{2} + |CI|^{2} = |AH|^{2} +| BH|^{2} + |CH|^{2} \Longleftrightarrow |GI|=|GH|[/tex]

[tex]|GI|^2=\frac{p^2+5r^2-16Rr}{9}[/tex]

[tex]|GH|^2=4r^2-\frac{8\left(p^2-r^2-4Rr\right)}{9}[/tex]

[tex]|GI|=|GH|\Rightarrow 3p^2=12R^2+16Rr+r^2[/tex]

Заместваме полученият израз за [tex]p[/tex] в неравенството на Блъндън:

[tex]p^2\leq 4R^2+4Rr+3r^2[/tex]
[tex]12R^2+16Rr+r^2\leq 12R^2+12Rr+9r^2[/tex]
[tex]4r\left(2r-R\right)\geq 0[/tex]

Но [tex]R\geq2r\Rightarrow R=2r[/tex] и триъгълникът е равностранен.

[ins-]

браво, Magi. Хубаво решение. При съставянето на задачата използвах една твоя идея. Съображенията ми бяха много по-различни. Можеш да използваш, че [tex]\angle GIH[/tex] - при стандартните означения за произволен триъгълник е тъп. От това следва желаното [tex]GH \geq GI[/tex], като равенство се достига само при равностранен триъгълник. От формулата на Лайбниц лесно следва желаното твърдение. Ако искаш можеш да се пробваш и с други мои задачи в секцията "Олимпийска задача за ентусиасти". Особено интересно ми е втората ми задача с равностранен триъгълник как ще стане. Сигурен съм, че твърдението е вярно, но засега не съм го доказал.