Няколко задачки

[Denethor]

1.Да се докаже,че медианите АА1 И ВВ1 на ▲АВС със страни АВ=13 ВС=19 АС=22 са перпендикулярни.
2.Да се докаже,че ако страните на ▲ се отнасят както 1:√2:√3,то ъглите м-у медианите на триъгълника са съответно равни на ъглите на ▲.
3.Дадено:▲АВС а=7 в=8 γ=120° Цел: hc=? ra=? R=? Разстоянието между центъра на външно-вписаната окръжност Оа и центъра на вписаната окръжност =?

Така и не успях да ги реша

[Реклама]

[Spider Iovkov]

[tex]AB^2=AC^2+BC^2-2.AC.BC.cos\angle 120;[/tex]
[tex]S_{ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex].
По тази формула намираш лицето. После използваш, че:
[tex]S_{ABC}=\frac{ch_{c}}{2}, h_{c}=\frac{2S}{c};[/tex]
[tex]\frac{c}{sin\gamma }=2R, R=\frac{c}{2sin\gamma }[/tex].

Прекарай три перпендикуляра от центъра на вписаната окръжност към трите страни. Например [tex]OP[/tex], перпендикулярно на [tex]AB[/tex], [tex]OQ[/tex], перпендикулярно на [tex]AC[/tex], и [tex]OR[/tex], перпендикулярно на [tex]BC[/tex]. Ъгъл, срещулежащ на този от [tex]120^\circ[/tex], е [tex]60^\circ[/tex]. Понеже [tex]\triangle ORQ[/tex] е равнобедрен, но и ъгълът е [tex]60^\circ[/tex], то триъгълникът е равностранен. Чрез лесна система с три неизвестни намираш, че [tex]CQ=CR=1[/tex]. По косинусовата теорема за [tex]\triangle QRC[/tex] намираш, че [tex]QR=\sqrt{3}[/tex]. След като този триъгълник е равностранен, то [tex]r=\sqrt{3}[/tex].

[Denethor]

Мерси за помощта,но в тази задача(3-та) никъде не се търси r.

[Spider Iovkov]

Ами това r, което си отбелязал? Не мога да разбера какво е, тогава

[Spider Iovkov]

Зад. 1. Дадено: [tex]\triangle ABC, AB=13, BC=19, AC=22, AA_{1}, BB_{1}[/tex] — медиани.
Да се докаже: [tex]AA_{1}, BB_{1}[/tex] — перпендикулярни.
Доказателство:
Намираме дължината на [tex]AA_{1}[/tex] по формулата за медианите:

[tex]AA_{1}=\frac{1}{2}\sqrt{2(AB^2+AC^2)-BC^2}[/tex].

Определяме, че: [tex]AA_{1}=\frac{3\sqrt{105}}{2}[/tex].

Нека [tex]M[/tex] е медицентърът на [tex]\triangle ABC[/tex]. Тогава [tex]AM=\frac{2AA_{1}}{3}[/tex], тоест: [tex]AM=\sqrt{105}[/tex].

Отново по формулата за медианите определяме дължината и на [tex]BB_{1}[/tex]:

[tex]BB_{1}=\frac{\sqrt{2(AB^2+BC^2)-AC^2}}{2}[/tex], тоест: [tex]BB_{1}=12[/tex].

Проверяваме верността на равенството:

[tex]AM^2+BM^2=AB^2, \sqrt{105^2}+8^2=13^2, 105+64=169, 169=169[/tex].

Следователно медианите на триъгълника са перпендикулярни.