Малко помощ!?!

[soldier_vl]

Домашното ми по математика е следното:
Каква е размерността и базата на аритметична прогресия във векторното пространство(не съм сигурен дали точно това е условието въй като седях доста на зад и не чувах много добре). Та ако може малко да ми обясните, за тази размерност, защото не ни го обясниха като хората пък и нищо не чух(даже не съм сигурен, че ни е предадено).
Благорадя

[Реклама]

[xyz]

Според мен аритметичната прогресия не е подпространство и затова няма как да и изчисляваш размерността. Ако се търси размерността на съдържащото го подпространство - то това е друго.

[Methuselah]

Баш подпространство си е според мен. Издържа на събиране и умножение със скалар. Трябва обаче и 0 да е член на прогресията. Тогава размерността ще е 1, а базис може да е (d) където d e разликата на прогресията.

[soldier_vl]

Не знам дали е подпространство тъй като ние даже нищо за пространство не сме писали, но скаларно произведение още не ние предадено, ще го учим по нататък защото аз сшецялно питах за него тъй като го знам. Така, че трябва да е без скаларно произведение

[Infernum]

Според мен ще е добре да си изясниш условието на задачата до последния детайл.

[M_Velinova]

Soldier_vl, ние общността на www.math10.com имаме добро впечатление от ученика Soldier_vl и затова нямаш право на неточни въпроси! Слушай внимателно на лекциите и питай точно!

[soldier_vl]

Питах една приятелка тя ми каза че е записала следното за домашно: Каква е размерността на векторното пространство на аритметична прогресия?

[r2d2]

[soldier_vl]

Води ни Симидчиев. Аз 3 или 4 пъти го накарах да повтори щото не го чувах и той посления път ми вика защо колега само вие не чувате?

[Infernum]

Ако условието е това, което е разтълкувал r2d2, решението е следното.
Установява се, че множеството от всички числови редици е линейно пространство. Като се извърши това се показва, че множеството на аритметичните прогресии е също линейно пространство. Това означава, че множеството на аритметичните прогресии, като подмножество на всевъзможните числови редици е линейно подпространство.
Ето как се показва, че множеството на аритметичните прогресии е линейно пространство.

Нека x_n, y_n, z_n са три аритметични прогресии, т. е.

[tex]x_n=a_x+(n-1)d_x[/tex]
[tex]y_n=a_y+(n-1)d_y[/tex]
[tex]z_n=a_z+(n-1)d_z[/tex]

(a_x, a_y, a_z, d_x, d_y, d_z са съответно първите членове и разликите на прогресиите x_n, y_n, z_n и са реални числа.)

Проверяват се аксиомите за комутативност, асоциативност и дистрибутивност на операцията събиране на две аритметични прогресии.

За комутативността имаш

[tex]x_n+y_n=a_x+(n-1)d_x+a_y+(n-1)d_y=(a_x+a_y)+(n-1)(d_x+d_y)[/tex]

Полученият резултат е отново аритметична прогресия и следователно принадлежи на разглежданото множество от числови редици. От друга страна

[tex](a_x+a_y)+(n-1)(d_x+d_y)=(a_y+a_x)+(n-1)(d_y+d_x)=y_n+x_n[/tex]

С това комутативността на операцията събиране е установена.
За асоциативността и дистрибутивността относно умножението с реален скалар λ, съответно имаш:

[tex](x_n+y_n)+z_n=(a_x+a_y)+(n-1)(d_x+d_y)+a_z+(n-1)d_z=a_x+a_y+a_z+(n-1)(d_x+d_y+d_z)=[/tex]
[tex]=a_x+(n-1)d_x+(a_y+a_z)+(n-1)(d_y+d_z)=x_n+(y_n+z_n)[/tex]

[tex]\lambda(x_n+y_n)=\lambda [(a_x+a_y)+(n-1)(d_x+d_y)]=\lambda [a_x+(n-1)d_x] +\lambda [a_y+(n-1)d_y]=\lambda x_n+\lambda y_n[/tex]

За всеки елемент x_n (аритметична прогресия) съществува нулев елемент (нулева аритметична прогресия, неутрален елемент относно събирането)

[tex]0_n=0+(n-1)0[/tex], такъв че

[tex]x_n+0_n=a_x+(n-1)d_x+0+(n-1)0=a_x+0+(n-1)(d_x+0)=a_x+(n-1)d_x=x_n.[/tex]

За всеки елемент x_n съществува противоположен елемент означен с [tex]-x_n=-a_x+(n-1)(-d_x)[/tex], такъв че

[tex]x_n+(-x_n)=a_x-a_x+(n-1)(d_x-d_x)=0+(n-1)0=0_n.[/tex]

Съществува единичен елемент [tex]1_n=1+(n-1)0[/tex] такъв че за всеки елемент x_n е изпълнено [tex]1_n.x_n=[1+(n-1)0][a_x+(n-1)d_x]=a_x+(n-1)d_x=x_n[/tex]

За всеки два реални скалара (числа) α, β са в сила равествата

[tex](\alpha +\beta)x_n=(\alpha +\beta)[a_x+(n-1)d_x]=\alpha[a_x+(n-1)d_x]+\beta[a_x+(n-1)d_x]=\alpha x_n+\beta x_n[/tex]

[tex](\alpha \beta)x_n=(\alpha \beta)[a_x+(n-1)d_x]=\alpha [\beta a_x+(n-1)\beta d_x]=\alpha (\beta x_n)=\beta [\alpha a_x+(n-1)\alpha d_x]=\beta (\alpha x_n)[/tex]

С това е показано, че множеството от аритметичните прогресии е линейно пространство.

База в едно линейно пространство е всяка съвкупност от линейно независими елементи на пространството. Такива елементи се наричат базисни. В конкретния пример, базисните елементи трябва да бъдат аритметични прогресии, тъй като разглеждаме линейно пространство образувано от аритметични прогресии. Базисните елементи на едно линейно пространство са такива елементи, от които могат да бъдат получени всички останали елементи на пространството, само чрез умножение със скалари и събиране. Размерността на пространството се определя от максималния брой линейно независими елементи, т. е. в конкретния пример, трябва да се определи максималният брой аритметични прогресии, от които могат да бъдат образувани всички останали аритметични прогресии. Лесно се установява, че базата в линейното пространство на аритметичните прогресии се образува от прогресиите

[tex]a_n=1+(n-1)0[/tex] и [tex]b_n=0+(n-1)1[/tex],

тъй като всички останали аритметични прогресии могат да се получат като линейна комбинация от тези две. Наистина, за произволна аритметична прогресия [tex]x_n=a+(n-1)d[/tex] е в сила представянето

[tex]x_n=a+(n-1)d=a[1+(n-1)0]+d[0+(n-1)1]=a.a_n+d.b_n.[/tex]

Следователно размерността на пространството, образувано от аритметичните прогресии е 2.

[soldier_vl]

[xyz]

[soldier_vl]

Честно казано това с двойката пак не го разбрах явно нещо куца в обучението ми

[Infernum]

[soldier_vl]

Infernum, много благодаря за разяснението по въпроса ми! Сега вече всичко разбрах и ми е ясно!