pomo6t!

[silva89]

Imam problem s edna zada4ka...Please, help me!
Eto ia : 4etiriygylnik ABCD e vpisan w okrygnost. Stranite AB i CD se presi4at v t. E, a diagonalite AC i BD v t. F. Okolo BFC i AFD sa opisani okrygnosti, koito se presi4at za vtori pyt v t. H. Da se nameri ygyl EHF.

[Реклама]

[Futurolog]

Решението е малко позакъсняло, но може би някой би го намерил за полезно.... знае ли човек....

Нека a, b, c и d са прави, минаващи съответно през точките А, В, С и D. Нека а пресича b в точка К, b пресича c в точка Н, c пресича d в Т и d пресича a в точка Р.

Лема 1: Тр.ВNС е подобен на тр.АРD и тр.СТD е подобен на тр.ВКА.

Доказателство: <РДА = 90 - <АДВ = 90 - <АСВ = <NСВ, тъй като <АDВ = <АСВ понеже са вписани ъгли в окръжност. Съвсем аналогично <NВС = <РАD. Оттук следва тр.АРD и тр.СТD са подобни. Съвсем аналогично тр.СТD е подобен на тр.ВКА.

Следствие 1: NС/DР = NВ/АР и СТ/ТD = ВК/КА.

Доказателство: Следва директно от подобието между съответните триъгъници.

Лема 2: Точките Р, N и Е лежат на една права.

Доказателство: Нека правата DС пресича правата PN в точка Е₁, а правата АВ пресича РN в точка Е₂. Искаме да покажем, че Е₁=Е₂.
Прилагаме теоремата на Менелай за триъгълник РNТ пресечен с правата Е₁D. Тогава
1 = РЕ₁/Е₁N . NС/СТ . DТ/DР = РЕ₁/Е₁N . NС/DР . DТ/СТ ,
от където, като комбинираме със първото равенство от Следствие1, получаваме, че
Е₁N/ РЕ₁ = NС/DР . DТ/СТ = NВ/АР . АК/КВ.
Като приложим теоремата на Менелай за триъгълник РNК пресечен с правата Е₂A получаваме аналогичен на предния резултат, а именно
Е₂N/ РЕ₂ = NВ/АР . АК/КВ (това равенство следва директно от теоремата на Менелай, без да прилагаме останалите леми).
Следователно
Е₁N/ РЕ₁ = Е₂N/ РЕ₂ ,
т.е. Е₁=Е₂. Това означава, че правите ДС, АВ и РN се пресичат в една точка и тъй като ДС и АВ се пресичат в Е, то РN също минава през Е, т.е. А, N и Е лежат на една права.

Решение на задачата: Нека Н' е петата на перпендикуляра, спуснат от точка F към правата PN. Тогава от Лема 2 следва, че <ЕН'F = <NH'F = <PH'F =90. Но <NH'F = <NBF = <NCF=90 следователно точките H', B, N, C и F лежат на окръжността k(1), описана около тр.FBC. Съвсем аналогично получаваме, че точките H', A, P, D и F лежат на окръжността k(2), описана около тр. AFD. Следователно k(1) пресича k(2) в точките H' и F. Но по условие H и F са пресечните точки на двете окръжности, от където H'=H, т.е. FH е перпендикулярна на EP. Така <EHF=90.

[silva89]

Futorolog,
Mnogo ti blagodaria za zada4kata i za lemite!!!. Naistina otdawna me my4e6e.Dylgo 4akah...no si do4akah re6enieto....