Как се решават тези задачи и от кое състезание са?

[rekviziciq]

1.Ако a,b,c ca 2x2 взаимно прости числа:а²+b²=c²,докажете, че а.b.c се дели на 60
2.Може ли да се изберат 2007 естествени числа, за които сумата на всяко подмножество от тях не е точен квадрат.
И ако може да ми кажете от кое състезание са и ако има линк към условията и решенията на задачите от това състезание ще ви бъда благодарен

[Реклама]

[Baronov]

1. Разгледай отделно всички възможни остатъци при деление на 2,3 и 5.
2. Може, що да не може. Просто си избери някъв голям брой прости числа(за всяко подмножество по едно) и по китайската теорема нагласи така остатъците(по модул избраното просто число), че сумата на числата в това множество да не е квадратичен остатък. По този начин сумата на никое подмножество не може да бъде точен квадрат.

[Пафнутий]

1. Преди да разгледаш остатъците- използвай, че това е Питагорова тройка значи- [tex]a=x^2-y^2 , b=2xy , c=x^2+y^2[/tex] Значи докажи, че [tex]60|2xy(x^2-y^2)(x^2+y^2)[/tex]

[Baronov]

Да що да не използваме, че е Питагорова тройка. Може да използваме и голямата теорема на ферма, да знаеш май я доказаха наскоро. Майтап. Ама като се замислиш дори и да използваш представянето на питагоровите тройки пак трябва да разгледаш отделно модулите и най-вероятно да разгледаш няколко случая. Ама така е като знаеш много неща.

[Пафнутий]