Регистрирайте сеРегистрирайте се

Олимпиада за участниците във форума

Иди на страница 1, 2  Следваща
 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 5-8 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Tue Oct 23, 2007 10:41 am    Заглавие: Олимпиада за участниците във форума

По подобие на олимпиадата за 9-12 клас, водена от Titu Andresсu и Шпенглер, и тук ще бъде проведена такава. Всеки кръг ще се състои от една или две задачи, за които ще имате два, три или четири дни време. Ще се оценяват и частични решения, както и наличието на чертеж при геометричните задачи(няма да се отнемат точки, ако такъв липсва). Изпращайте ми по Лично Съобщение.

Могат да участват всички ученици, но нека не използваме знания над 8-ми клас(тук може да намерите какво се учи в 8-ми клас)!

Първа задача

ABCD е квадрат със страна 12, а точките M, N и Р са вътрешни съответно за AD, DC и СВ като DM = 6, DN = 4 и CP = 3. През N е прекарана права, перпендикулярна на МР, която пресича АВ в точка Т. Намерете дължината на АТ.
Седем точки.

Имате три дни. Успех!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Tue Oct 23, 2007 11:20 am    Заглавие:

Хубава задачка. Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Fri Oct 26, 2007 11:06 am    Заглавие:

JusТok - 7 т.
MM - 7т.
Killerbeast - 7т.
chicho.niki - 3т. (Правилно решение, но с подобни триъгълници)

Временно класиране:

1. JusTok, MM, Killerbeast - 7т.
2. chicho.niki - 3т.

Ще помоля chicho.niki и някой oт MM, JusTok и Killerbeast(еднакви са начините, по които решавате задачата) да си пуснат решенията.

Втора задача
Да се решат уравненията:

а) [tex]4(x-1)y^2z^2 + 4(y-1)z^2x^2 + 4(z-1)x^2y^2 = 3x^2y^2z^2[/tex]
б) [tex][x] = \frac{1}{2}(|x-1|-|x+1|)[/tex]

Упътване: С [x] бележим най-голямото цяло число, ненадминаващо х: например [5], [1,7] и [-3,14] са съответно 5, 1 и -4.

За всяко подусловие - четири точки, а времето ви за работа е отново три дни. Успех!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
killerbeast
Начинаещ


Регистриран на: 16 Jul 2007
Мнения: 55

Репутация: 12.4
гласове: 7

МнениеПуснато на: Fri Oct 26, 2007 11:12 am    Заглавие:

Знаем, че е даден квадрата [tex]ABCD[/tex]. Страната на квадрата е равна на [tex]12 cm[/tex]. [tex]DM=6 cm[/tex] => т.М се пада среда на АD. [tex]DN=4 cm=\frac{1}{3 } DC. CP=3 cm=>CP=\frac{1}{4 } CB[/tex]. Правата, перпендикулярна на МР пресича АВ в точка Т. Нека МР Х NT=т.К.

Нека от точка N да издигнем перпендикуляр, пресичащ АВ в точка S. От М също нека да издигнем перпендикуляр, пресичащ СВ в Q. Нека да означим [tex]\angle PMA=\alpha[/tex]. Нека да разгледаме:

1)АМKT: [tex]\angle ATK=360^\circ -2.90^\circ -\alpha = 180^\circ -\alpha[/tex]
2)[tex]MABP:\angle MPB=360^\circ -2.90-\alpha =180^\circ -\alpha[/tex]

=> [tex]\angle MPB=\angle ATK=180^\circ -\alpha [/tex](1)

Сега да поразсъждаваме малко по спунатите перпендикуляри. От NS можем да си направим извод, че ASND e правоъгълник (AS||DN (т.S и т.N са част от страните на квадрата, които по определение са успоредни) и NS||DA (имаме двойка кръстни ъгли, които са равни и мярката им е 90 градуса - [tex]\angle DAS=\angle NSB=90^\circ[/tex] с прав ъгъл) => DA=NS=12 cm. Аналогично доказваме и това, че MQ също е част от правоъгълника MABQ => MQ=AB=12 cm =>MQ=NS(2).

Сега ще разгледаме два триъгълника:▲STN и ▲QPM:
1)[tex]\angle NST=\angle MQP=90^\circ [/tex]
2)[tex]\angle STN=\angle QPM=180^\circ -\alpha (1)[/tex]
3)От (2) MQ=NS
=>▲STN [tex]\cong[/tex] ▲QPM =>ST=QP.
MQCD e успоредник с прав ъгъл => MQCD е правоъгълник => DM=CQ, CP= 3 cm =>PQ=3 cm=TS.

Имаме и правоъгълник ASND => AS=DN=4 cm.

AT=AS+ST=4 cm+3 cm=7 cm.

Отговор: AT=7 cm
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
tanas
Напреднал


Регистриран на: 12 Feb 2007
Мнения: 285

Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 10

МнениеПуснато на: Fri Oct 26, 2007 4:14 pm    Заглавие:

Да въведем означения:
[tex]NT\cap MP=K[/tex]
[tex]NT\cap AD=R[/tex]
[tex]MP\cap DC=S[/tex]

Сега
(#)[tex]CP=\frac{1}{2}MD[/tex] и
(*) [tex]CP|| MD[/tex].

От (#) и (*) по Теорема => CP - средна отсечка в [tex] \Delta MSD => DC=CS=12.[/tex]
Да разгледаме [tex]\Delta SCP[/tex] и [tex]\Delta RDN[/tex]
(1) [tex]\angle SCP=\angle RDN=90[/tex]
(2) [tex]\frac{SC}{RD }=\frac{CP}{DN }=\frac{4}{1 } [/tex]
От (1) и (2) => [tex]\Delta SCP, \Delta RDN[/tex] - подобни => (##)[tex]\angle DRN=\angle CSP[/tex]
От подобието на [tex]\Delta CPS [/tex]и [tex]\Delta DNR => \frac{CP}{CS }=\frac{DN}{DR }=\frac{1}{4 } => DR=16[/tex]
Сега да разгледаме [tex]\Delta MSD[/tex] и[tex] \Delta TRA[/tex]
(##) е еквивалентно на (###)[tex] \angle MSD = \angle TRA [/tex]
Знаем също, че (***)[tex]\angle MSD = \angle TAR[/tex]
От (###) и (***) =>
[tex]\Delta MSD [/tex] и [tex]\Delta TRA[/tex] - са подобни
=>[tex] \frac{DM}{AT } = \frac{DS}{AR } = \frac{1}{4 } [/tex]
И понеже [tex]AR=AD+DR=12+16=28, AT=7[/tex], задачата е решена.



zad.JPG
 Description:
 Големина на файла:  12.17 KB
 Видяна:  8912 пъти(s)

zad.JPG


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Mon Oct 29, 2007 11:37 am    Заглавие:

За този кръг:

1. MM, chicho.niki - 8т.
2. killerbeast - 6т. (непълно решение на 1/а)

Временно класиране:

1. ММ - 15т.
2. Killerbeast - 13т.
3. chicho.niki - 11т.
4. JusTok - 7т.

Нека chicho.niki пусне решение и на двете подточки, а ММ - на 1/а (има различия).

Трета задача

Стените на многостен са 12 квадрата, 8 правилни шестоъгълника и 6 правилни осмоъгълника. Всеки връх на многостена е едновреенно и връх на един квадрат, един шестоъгълник и един осмоъгълник. Колко са диагоналите на многостена? (Ще смятаме, че всички точки от диагонала на многостен, освен краищата, са само вътрешни точки за дадения многостен) - 10т.

Време за работа - три дни.

Ето го и самия многостен(наречен още пресечен куб октаедър):

Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
tanas
Напреднал


Регистриран на: 12 Feb 2007
Мнения: 285

Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 10

МнениеПуснато на: Mon Oct 29, 2007 12:36 pm    Заглавие:

Николай.Каракехайов написа:


Втора задача
Да се решат уравненията:

а) [tex]4(x-1)y^2z^2 + 4(y-1)z^2x^2 + 4(z-1)x^2y^2 = 3x^2y^2z^2[/tex]
б) [tex][x] = \frac{1}{2}(|x-1|-|x+1|)[/tex]

[tex]4(x-1)y^2z^2 + 4(y-1)z^2x^2 + 4(z-1)x^2y^2 = 3x^2y^2z^2[/tex]
[tex]4xy^2z^2-4y^2z^2+4yx^2z^2-4x^2z^2+4zx^2y^2-4x^2y^2-3x^2y^2z^2=0 |.(-1)[/tex]
[tex](x^2y^2z^2-4xy^2z^2+4y^2z^2)+(x^2y^2z^2-4yx^2z^2+4x^2z^2)+(x^2y^2z^2-4zx^2y^2+4x^2y^2)=0[/tex]
[tex](xyz-2yz)^2+(xyz-2xz)^2+(xyz-2xy)^2=0[/tex]
Всеки от трите квадрата [tex]\ge [/tex]0 => за да е изпълнено равенството всеки от тях е точно 0.Получаваме системата:
[tex]|yz(x-2)=0[/tex]
[tex]|xz(y-2)=0 [/tex]
[tex]|xy(z-2)=0[/tex]
Решенията й са:
(0,0,z)
(0,y,0)
(x,0 0)
(2,2,2)


[tex][x] = \frac{1}{2}(|x-1|-|x+1|)[/tex]

I. [tex]x\in (-\infty ;-1):[/tex]
[tex][x]=\frac{1}{ 2}(-|x-1|-(-|x+1|))[/tex]
[tex][x]=\frac{1}{ 2} (-x+1+x+1)[/tex]
[tex][x]=1[/tex]
[tex]=>x\in[1;2).[/tex]Но тези стойности не са в разглеждания интервал
[tex]x \in (-\infty ;-1)[/tex] и не са решения.

II. [tex]x\in [-1 ;1):[/tex]
[tex][x]=\frac{1}{ 2} (-|x-1|-|x+1|)[/tex]
[tex][x]=\frac{1}{ 2}(-x+1-x-1)[/tex]
[tex][x]=\frac{1}{2 }(-2x)[/tex]
[tex][x]=-x[/tex]
[tex][x]=-[x]-{x}[/tex] (със {x} се бележи дробната част на x)
=>{x}=0, т.е. х-цяло
Тогава [tex][x]=-[x][/tex] e еквиваленнто на
[tex]x=-x[/tex]
[tex]2x=0[/tex]
[tex]x=0\in [-1 ;1)[/tex] и е решение.

III. [tex]x\in [1;\infty ):[/tex]
[tex][x]=\frac{1}{2 }(|x-1|-|x+1|)[/tex]
[tex][x]=\frac{1}{ 2}(x-1-x-1)[/tex]
[tex][x]=\frac{1}{ 2}(-2)[/tex]
[tex][x]=-1[/tex]
=> [tex]x\in [-1;0)[/tex].
Тези стойности не са в разглеждания интервал [tex][1;\infty )[/tex] => отново не са решения.

Така получаваме единствено решение х=0
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Grands
Редовен


Регистриран на: 31 Mar 2007
Мнения: 240

Репутация: 28.2Репутация: 28.2Репутация: 28.2
гласове: 5

МнениеПуснато на: Mon Oct 29, 2007 7:15 pm    Заглавие:

killerbeast, не се вижда картинката, която си пуснал.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Fri Nov 02, 2007 3:07 pm    Заглавие:

За съжаление, само chicho.niki реши задачата и получава 10 т. Пусни си решението, а после ще дам и едно алтернативно(авторското).

Ето го и временното класиране:

1. chicho.niki - 21 т.
2. ММ - 15 т.
3. Killerbeast - 13 т.
4. JusTok - 7 т.

Четвъртата ви задача:

Даден е петоъгълник ABCDE.

а) Точките P, Q, R, S и Т са среди съответно на страните АВ, ВС, CD, DE и ЕА. Ако М е произволна точка, М1 е симетрична на М относно Р, М2 е симетрична на М1 относно Q, М3 е симетрична на М2 относно R, М4 е симетрична на М3 относно S и М5 е симетрична на М4 относно Т, да се докаже, че точките М, А и М5 лежат на една права. - 4т.

б) Ако АВ = CD = AE = 1, BC + DE = 1 и [tex]\angle ABC = \angle DEA = 90^\circ[/tex], намерете лицето на петоъгълника. - 6т.

Време: 4 дни.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
tanas
Напреднал


Регистриран на: 12 Feb 2007
Мнения: 285

Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 10

МнениеПуснато на: Fri Nov 02, 2007 4:52 pm    Заглавие:

Да видим колко върха има нашият пресечен кубоктаедър:
12 квадрата - по 4 върха всеки
8 6-ъгълника - по 6 всеки
6 осмоъгълника - по 8 .
Но тъй като всеки връх на кубоктаедъра е едновременно връх на един квадрат, един 6-ъгълник и един 8-ъгълник, ние го броим 3 пъти.

И така получаваме[tex]\frac{12.4+6.8+8.6}{3 }=48[/tex] върха

Да определим по колко диагонала излизат от всеки връх(като не броим онези диагонали, които принадлежат на стените на кубоктаедъра):
От връх А излизат общо 47 отсечки, свързващи го с останалите върхове.
Но от тези 47 трябва да изключим онези 7, с които А лежи на една стена(онази стена която е 8-ъгълник),още 5, с които лежи не друга(6-ъгълник) и още 3, с които лежи на стената, която е квадрат.Но така ние изключихме по два пъти 3 върха - онзеи, които са едновременно върхове на:
-квадрат и 8-ъгълник
-квадрат и 6-ъгълник
-6-ъгълник и 8-ъгълник
Като, казвайки квадрат, 6-ъгълник и 8-ъгълник имаме предвид онези квадрат, 6-ъгълник и 8-ъгълник, чийто връх е А.
Така окончателно от А излизат [tex](47-7-5-3)+3=35[/tex] диагонала.
И изобщо от всеки връх излизат по 35 диагонала.
Така общият им брой е:
[tex]\frac{48.35}{ 2} =840[/tex] диагонала
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
tanas
Напреднал


Регистриран на: 12 Feb 2007
Мнения: 285

Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 10

МнениеПуснато на: Mon Nov 05, 2007 9:54 am    Заглавие:

Николай.Каракехайов, беше обещал авторското решение... интересно ми е да го видя...ако може, де
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Mon Nov 05, 2007 3:05 pm    Заглавие:

Ето съкратено решение на многостена от сборника на Величков и Раковска:

Намираме върховете както адаша. След това съобразяваме, че ръбовете са 72, тъй като от всеки връх излизат точно по 3 ръба. Намираме диагоналите на стените лесно - те са 216. Всички отсечки с краища върхове на многостена са 24.47 = 1128. От 1128 вадим (72 + 216) и получаваме 840.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
tanas
Напреднал


Регистриран на: 12 Feb 2007
Мнения: 285

Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 10

МнениеПуснато на: Mon Nov 05, 2007 5:00 pm    Заглавие:

Николай.Каракехайов написа:
Ето съкратено решение на многостена от сборника на Величков и Раковска:

Намираме върховете както адаша. След това съобразяваме, че ръбовете са 72, тъй като от всеки връх излизат точно по 3 ръба. Намираме диагоналите на стените лесно - те са 216. Всички отсечки с краища върхове на многостена са 24.47 = 1128. От 1128 вадим (72 + 216) и получаваме 840.
Като идея не е коренно различно(не, че може да бъде кой-знае колко по-различно).
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Fri Nov 09, 2007 9:36 pm    Заглавие:

Макар допълнително време, което дадох, получих само две решения. И така:

1. chicho.niki - 10т. (+ доказателство на Пит. Т)
2. ММ - 6т. (решение на втора подточка)

Класиране:

Ето го и временното класиране:

1. chicho.niki - 31 т.
2. ММ - 21 т.
3. Killerbeast - 13 т.
4. JusTok - 7 т.

Пета задача

Да се докаже, че ако [tex]a + b \ge 1[/tex], то [tex]a^4 + b^4 \ge \frac{1}{8} [/tex] - 6 точки.

Време за работа: три дни.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
tanas
Напреднал


Регистриран на: 12 Feb 2007
Мнения: 285

Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 10

МнениеПуснато на: Sun Nov 11, 2007 12:34 pm    Заглавие:

Николай.Каракехайов написа:

Четвъртата ви задача:
Даден е петоъгълник ABCDE.
а) Точките P, Q, R, S и Т са среди съответно на страните АВ, ВС, CD, DE и ЕА. Ако М е произволна точка, М1 е симетрична на М относно Р, М2 е симетрична на М1 относно Q, М3 е симетрична на М2 относно R, М4 е симетрична на М3 относно S и М5 е симетрична на М4 относно Т, да се докаже, че точките М, А и М5 лежат на една права. - 4т.

б) Ако АВ = CD = AE = 1, BC + DE = 1 и [tex]\angle ABC = \angle DEA = 90^\circ[/tex], намерете лицето на петоъгълника. - 6т.

Нека разгледаме четириъгълника [tex]AMBM_1[/tex]:
В него диагоналите [tex](AB[/tex] и [tex]MM_1)[/tex] се разполовяват взаимно (в точка Р).
По теорема [tex]AMBM_1[/tex] е успоредник
=>

[tex]AM || BM_1[/tex]

Аналогично успоредници са:
[tex]BM_1CM_2 , CM_2DM_3 , DM_3EM_4 , EM_4AM_5[/tex]
Следователно [tex]AM || BM_1 || CM_2 || DM_3 || EM_4 ||AM_5 [/tex](на чертежа са цветни)
Получихме, че [tex]AM || AM_5[/tex].
Тези две прави са успоредни и минават през обща точка.По Аксеома те съвпадат, с което А) е решена.

Нека сега ВС=х.Тогава по условие DE=1-x.
Да видим колко е сборът от лицата на [tex]\Delta ABC[/tex]и [tex]\Delta ADE[/tex]:
[tex]S\Delta ABC=\frac{AB.BC}{ 2} =\frac{1.x}{2 } [/tex]
[tex]S\Delta ADE=\frac{AE.DE}{2 } =\frac{1(1-x)}{2 } [/tex]
[tex]S\Delta ABC+S\Delta ADE=\frac{1.x}{2 }+\frac{1(1-x)}{2 }=\frac{1}{2 } [/tex]
Сега остава само да намерим лицето на [tex]\Delta ACD[/tex].
Нека да построим височината му AH=h, като за удобство ще означим CH=a, DH=1-a.
Прилагаме Питагоровата теорема последователно за [tex]\Delta ABC[/tex] и [tex]\Delta AHC [/tex]:
[tex]1^2+x^2=AC^2[/tex]
[tex]h^2+a^2=AC^2[/tex]
Откъдето
[tex]1^2+x^2=h^2+a^2[/tex]
Аналогично, прилагайки Питагоровата теорема за [tex]\Delta AED[/tex] и [tex]\Delta AHD[/tex], получаваме:
[tex]1^2+(1-x)^2=h^2+(1-a)^2[/tex]

Сега изваждаме почленно:
[tex]1^2+(1-x)^2=h^2+(1-a)^2[/tex]
[tex]-[/tex]
[tex]1^2+x^2=h^2+a^2[/tex]
-----------------------------------------------
[tex]1-2x=1-2a[/tex]
И ясно се вижда, че [tex]x=a[/tex]
Сега вече [tex]\Delta ABC[/tex] и [tex]\Delta AHC[/tex] са еднакви по II признак =>
h=1 => [tex]S\Delta ACD=\frac{1.1}{2 } =\frac{1}{2 }[/tex]
Окончателно [tex]S_{ABCD}=\frac{1}{2 } +\frac{1}{2 } =1[/tex]



zadB.JPG
 Description:
Чертеж към б) подточка
 Големина на файла:  32.93 KB
 Видяна:  8683 пъти(s)

zadB.JPG



zadA.JPG
 Description:
Чертеж към а) подточка
 Големина на файла:  34.54 KB
 Видяна:  8683 пъти(s)

zadA.JPG


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Tue Nov 13, 2007 5:26 pm    Заглавие:

Имаме [tex]a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 \ge 1[/tex], откъдето [tex]a^2 + b^2 \ge \frac{1}{2}[/tex]. И това е всичко!

Шеста задача

Няколко дъги от окръжността са оцветени в червен цвят. Сборът от дължините на оцветените дъги е по-малък от половината от дължината на окръжността. Да се докаже, че съществува диаметър, чиито краища не са оцветени.

Седем точки, време за работа: 10 дни.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Fri Nov 16, 2007 7:03 pm    Заглавие:

Обърнете внимание, че е удължено времето за даване на решения, а от Седми кръг нататък ще бъдат предлагани 2 задачи - една по избор.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Fri Nov 23, 2007 2:35 pm    Заглавие:

Единственото решение е на chicho.niki и той получава седем точки за него.

1. chicho.niki - 38 т.
2. ММ - 21 т.
3. Killerbeast - 13 т.
4. JusTok - 7 т.


Ето и новите две задачи. Можете да изберете една от тях, или да решите която и да е. Wink

Седма задача 1. (при стандартните означения)

Да се докаже, че ако височината [tex]h_a[/tex] не е по-малкa от останалите височини на триъгълника и [tex]h_a = m_c[/tex], то [tex]\gamma \le 60^\circ [/tex]. - Девет точки

Седма задача 2.

В един триъгълник [tex]ABC[/tex] [tex]\angle BAC = 30^\circ[/tex] и [tex]\angle ABC = 45 ^\circ [/tex]. Избрана е такава вътрешна за АВС точка М, че [tex]\angle MAB = \angle ABM = 15^\circ[/tex]. Да се намери [tex]\angle AMC[/tex]. - Десет точки


Време за работа - 8 дни. Успех Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Mon Dec 03, 2007 3:47 pm    Заглавие:

Отново никой освен адаша(chicho.niki), който реши и двете задачи, но получава тавана - 10 т.

Пусни си решенията.

1. chicho.niki - 48 т.
2. ММ - 21 т.
3. Killerbeast - 13 т.
4. JusTok - 7 т.

Осма задача 1.

Да се докаже, че за произволни положителни числа a, b, c и d е в сила неравенството:

[tex]a^3 + b^3 + c^3 + d^3 \ge abc + bcd + cda + dab[/tex] - 8 точки

Осма задача 2.

Няколко зидари с еднаква производителност могат заедно да изградят една стена за 7 дни. Първият зидар започнал работа сам. На следващия ден към него се присъединил вторият, на третия - третият и т.н. Стената била изградена в края на деня, в който се включил последният зидар. Колко са били зидарите и за колко дни всеки от тях може сам да изгради същата стена? – 6 точки

Време за работа: 8 дни
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
tanas
Напреднал


Регистриран на: 12 Feb 2007
Мнения: 285

Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 10

МнениеПуснато на: Tue Dec 04, 2007 10:35 am    Заглавие:

Николай.Каракехайов написа:

Седма задача 2.
В един триъгълник [tex]ABC[/tex] [tex]\angle BAC = 30^\circ[/tex] и [tex]\angle ABC = 45 ^\circ [/tex]. Избрана е такава вътрешна за АВС точка М, че [tex]\angle MAB = \angle ABM = 15^\circ[/tex]. Да се намери [tex]\angle AMC[/tex]. - Десет точки

Построяваме[tex] MT\bot AB[/tex]Понеже [tex]\Delta AMB[/tex]-равнобедрен, МТ се явява и медиана => [tex]AT=TB=\frac{1}{2 } AB[/tex]

Построяваме [tex]BH\bot AC[/tex]
[tex]BH=\frac{1}{2 } AB[/tex]
Да разгледаме[tex] \angle CBN=\angle ABN-\angle ABC=60-45=15^\circ [/tex]
Сега разглеждаме [tex]\Delta BTM[/tex] и [tex]\Delta CHB[/tex]:
1.[tex]\Delta BTM = \Delta CHB[/tex]
2.[tex]TB=HB[/tex]
3.[tex]\Delta TBM = \angle HBC = 15[/tex]
1.2,3 => [tex]\Delta BTM[/tex] и [tex]\Delta CHB[/tex] - еднакви по 2ри признак
=> [tex]MB=CB[/tex] => [tex]\Delta MCB[/tex] - равнобедрен, като [tex]\angle MBC=45-15=30^\circ [/tex].
=> [tex]\angle MCB=(180-30):2=75[/tex]
Но [tex]\angle ACB=105^\circ [/tex], така че [tex]\angle ACM=105-75=30[/tex]
Сега в [tex]\Delta AMC[/tex] знаем мярките на [tex]\angle MAC=15[/tex] и [tex]\angle ACM=30[/tex].Лесно намираме [tex]\angle AMC=145^\circ [/tex]

А за 7.1. ще дам само жокер:
От средата на АВ постройте перпендикуляри към ВС и АС.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
tanas
Напреднал


Регистриран на: 12 Feb 2007
Мнения: 285

Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 10

МнениеПуснато на: Tue Dec 04, 2007 11:14 pm    Заглавие:

Николай.Каракехайов написа:
Отново никой освен адаша(chicho.niki)

Чудя се вече защо ги решавам и с кого се състезавам.
Какво става? Къде са ММ, killerbeast, JusTok, другите?
Трябва някаква промяна.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Wed Dec 05, 2007 4:36 pm    Заглавие:

И аз не знам - удължих времето, давам видимо по-лесни задачи, при това избираеми...

Предложи нещо! Sad

ПП: marto_mn също участва.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
marto_mn
Редовен


Регистриран на: 03 Dec 2006
Мнения: 107

Репутация: 30.3Репутация: 30.3Репутация: 30.3
гласове: 15

МнениеПуснато на: Wed Dec 05, 2007 8:29 pm    Заглавие:

Държа да отбележа, че участвам от осмия кръг насам Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
tanas
Напреднал


Регистриран на: 12 Feb 2007
Мнения: 285

Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 10

МнениеПуснато на: Thu Dec 06, 2007 9:56 am    Заглавие:

marto_mn написа:
Държа да отбележа, че участвам от осмия кръг насам Smile

Толкова по-добре, но и с двама не става.
Трябва да измислим нещо по-различно.
Както казах ММ, killerbeast, JusTok отначало се включиха, но...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Thu Dec 06, 2007 5:41 pm    Заглавие:

Отворен съм за предложения, не само от адаша!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Wed Dec 12, 2007 7:47 pm    Заглавие:

marto_mn реши и двете задачи и получава максимума от 10 т. Ако желаеш, пусни си решенията Smile

Класиране:

1. chicho.niki - 48 т.
2. ММ - 21 т.
3. Killerbeast - 13 т.
4. marto_mn - 10 т.
5. JusTok - 7 т.


Ето и новите задачи:

9.1 Веднъж 20 човека решили да се разходят по вода с 10 двуместни лодки. Някои от тях се познават, а други не, но се знае, че за всеки две лица А и В, които не се познават, сборът от познатите на А и познатите на В е не по-малък от 19. Да се докаже, че хората могат да се разделят така, че във всяка лодка да седят познати. - 10 точки

9.2 Съществува ли непразно крайно множество от числа със следното свойство: за всичко число [tex]x \in M[/tex], съществува такова [tex]y \in M[/tex], че [tex]y^2 + 1 < 2x[/tex]. - 10 точки

Време: 10 дни
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
tanas
Напреднал


Регистриран на: 12 Feb 2007
Мнения: 285

Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2Репутация: 38.2
гласове: 10

МнениеПуснато на: Thu Dec 13, 2007 12:15 pm    Заглавие:

Браво на marto_mn Wink
Аз се затрудних с 8.1., а 8.2. хич не я пробвах.просто не ми допадат задачи от този тип.Нищо интересно няма в тях, само сметки.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Thu Dec 13, 2007 4:52 pm    Заглавие:

Как ще докажеш формулата [tex]1 + 2 + 3 ... + n = \frac{n(n+1)}{2}[/tex], [tex]n \in N[/tex] без индукция? Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
marto_mn
Редовен


Регистриран на: 03 Dec 2006
Мнения: 107

Репутация: 30.3Репутация: 30.3Репутация: 30.3
гласове: 15

МнениеПуснато на: Thu Dec 13, 2007 8:06 pm    Заглавие:

1+n=n+1
2+(n-1)=n+1
3+(n-2)=n+1
......
При четнo n имаме n/2 двойки всяка със сбор (n+1).
При нечетно броят на двойките е (n-1)/2 и числото по средата на редицата ( (n+1)/2 ) точно, колкото ни трябва. Wink
Така я доказвахме едно време в 4ти клас Razz
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Fri Dec 14, 2007 10:33 am    Заглавие:

Николай.Каракехайов написа:
Как ще докажеш формулата [tex]1 + 2 + 3 ... + n = \frac{n(n+1)}{2}[/tex], [tex]n \in N[/tex] без индукция? Smile


Древените гърци казвали: Виж!
А числата 1, 3, 6, 10 ... наричали триъгълни.



ScreenShot001_cr.jpg
 Description:
 Големина на файла:  6.94 KB
 Видяна:  8111 пъти(s)

ScreenShot001_cr.jpg


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 5-8 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Иди на страница 1, 2  Следваща
Страница 1 от 2

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.