Помощ за две задачи - намиране на граници

[fittipaldi]

Моля да ми помогнете за следните две задачи.
Условието е да се намерят границите:

[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{n}{3^n}[/tex]

[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{n^2}{4^n}[/tex]


Предварително благодаря.

[Реклама]

[Relinquishmentor]

Да разгледаме границата
[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{a^n}, a>1, k\epsilon N[/tex]

Ще развием Нютонов бином, като изберем произволно [tex]\alpha > 0[/tex] и [tex]a = 1+ \alpha [/tex]

[tex]a^n = (1+\alpha)^n = 1 + n\alpha + \frac{n(n-1)}{2}\alpha^2 +...+ \frac{n(n-1)...(n-k)}{(k+1)!}\alpha ^k+1 + \alpha^n \ge \frac{n(n-1)...(n-k)}{(k+1)!}\alpha ^k+1 [/tex]

Или:

[tex]a^n \ge \frac{n(n-1)...(n-k)}{(k+1)!}\alpha ^k+1[/tex] =>

[tex]\frac{1}{a^n} \le \frac{(k+1)!}{n[(n-1)(n-2)...(n-k).\alpha^k+1 }[/tex] =>

[tex]a_n = \frac{n^k}{a^n} \le \frac{n^k(k+1)!}{n(n-1)(n-2)...(n-k).\alpha^k+1}[/tex]

Понеже за дефинираните стойности на параметрите a и k общият член е по-голям от нула, то получаваме веригата от неравенства:

[tex]0 < \frac{n^k}{a^n} \le \frac{n^k(k+1)!}{n[(n-1)(n-2)...(n-k)].\alpha^k+1}[/tex]

Левите и десните части на тая верига клонят към нула, следователно по Лемата за двамата полицаи и средата клони към нула.

[tex]\lim_{n \to \infty} \frac{n^k}{a^n} = 0,a>1, k\epsilon N[/tex]