Romania TST (Team Selection Test) 2007

[Titu_Andrescu]

Задача (От контролното за определяне на румънския отбор по математика, които се яви на тазгодишната международна олимпиада) . Нека [tex]ABC[/tex] е триъгълник и [tex]w_a, w_b, w_c[/tex] са окръжности вътре в него, така че се допират (външно) по между си [tex]w_a[/tex] се допира до [tex]AB[/tex] и [tex]AC, w_b[/tex] се допира до [tex]BA[/tex] и [tex]BC, w_c[/tex] се допира до [tex]CA[/tex] и [tex]CB[/tex]. Нека [tex]D[/tex] бъде общата точка на [tex]w_b [/tex] и [tex]w_c, E[/tex] - общата точка на [tex]w_c[/tex] и [tex]w_a[/tex] и [tex]F[/tex] - oбщата точка на [tex]w_a[/tex] и [tex]w_b[/tex]. Докажете, че правите [tex]AD, BE[/tex] и [tex]CF[/tex] имат обща точка.

[Реклама]

[m1t3]

Това мисля, че може да стане с тегла или поне аз решавам така задачите за общи точки
Може утре да я пробвам

[Мирослав Стоенчев]

Д-во: Да означим с [tex]O_{a},O_{b},O_{c}[/tex] центровете на окръжностите [tex]w_{a},w_{b},w_{c}.[/tex]

Дефиниция: Триъгълниците [tex]\triangle ABC,[/tex] [tex]\triangle A_{1}B_{1}C_{1}[/tex] се наричат централно перспективни, ако правите [tex]AA_{1},BB_{1},CC_{1}[/tex] се пресичат в една точка.

Лема1. Ако [tex]\triangle ABC[/tex] и [tex]\triangle A_{1}B_{1}C_{1}[/tex] ,както и [tex]\triangle A_{1}B_{1}C_{1}[/tex] и [tex]\triangle A_{2}B_{2}C_{2}[/tex] са централно перспективни, то [tex]\triangle ABC[/tex] и [tex]\triangle A_{2}B_{2}C_{2}[/tex] са също централно перспективни.(тук считаме, че [tex]A_{2}\in B_{1}C_{1},B_{2}\in C_{1}A_{1},C_{2}\in A_{1}B_{1}[/tex])

Понеже правите [tex]AO_{a},BO_{b},CO_{c}[/tex] се пресичат в центъра на вписаната окръжност в [tex]\triangle ABC,[/tex] то [tex]\triangle ABC[/tex] и [tex]\triangle O_{a}O_{b}O_{c}[/tex] са централно перспективни.

За [tex]\triangle O_{a}O_{b}O_{c}[/tex] имаме, че [tex]|O_{a}E|=|O_{a}F|,|O_{b}F|=|O_{b}D|,|O_{c}E|=|O_{c}D|,[/tex] тогава [tex]D,E,F[/tex] са допирните точки на вписаната в [tex]\triangle O_{a}O_{b}O_{c}[/tex] окръжност.Следователно правите [tex]O_{a}D,O_{b}E,O_{c}F[/tex] се пресичат в една точка.Така получихме, че [tex]\triangle O_{a}O_{b}O_{c}[/tex] и [tex]\triangle DEF[/tex] са централно перспективни. От лема1 заключаваме, че и триъгълниците [tex]\triangle ABC[/tex] и [tex]\triangle DEF[/tex] са също централно перспективни, от което следва, че правите [tex]AD,BE,CF[/tex] се пресичат в една точка.