ограден четириъгълник

[Night_Flower]

Здравейте искам да помоля за помощ относно една задачка:
Четириъгълник АВСД е едновременно вписан и описан, като диагоналите му са перпендикулярни. Ако r е радиуса на вписаната окръжност, R - радиуса на описаната около четириъгълника окръжност, да се намери лицето на четириъгълника
Мерси предварително

[Реклама]

[ins-]

Хубава задачка, има идея и не е много трудна . От къде я намери?

Решение:
Означаваме с O пресечната точка на диагоналите.
От лемата на Архимед следва, че: [tex] AO^{2} + BO^{2} + CO^{2} + DO^{2} = 4R^{2} [/tex]
От правоъгълните триъгълници AOB, BOC, COD, AOD. Следва, че: [tex] a^{2} + c^{2} = b^{2} + d^{2} [/tex] Имаме също: [tex] a+c=b+d [/tex]. Следователно можем да заключим, че: ac=bd.
Като вземем в предвид теоремата на Птолемей: [tex] d_{1}d_{2} = ac + bd [/tex] и фактът, че лицето на нашият четириъгълник е [tex] 2S=d_{1}d_{2} [/tex]. Може да се заключи, че : [tex] S = ac [/tex]. [tex] p=(a+c) [/tex]. Като повдигнем в квадрат следва: [tex] p^{2} = a^{2}+c^{2}+2ac [/tex] От т. Питагор и лемата на Архимед => [tex] p^{2} = 4R^{2} + 2S [/tex] От друга страна [tex] S=p.r [/tex]. Повдигаме в квадрат и получаваме: [tex] S^{2} = (4R^{2}+2S)r [/tex]. Това уравнение е квадратно и лесно се вижда, че има един положителен корен, ако не греша отговора е: [tex] S=2r(r + \sqrt{4R^{2} + r^{2}}) [/tex].
Ако искаш, пробвай се с Виетнам 1997 г. задача 1. В нея има подобни работи, но е доста по-трудна и неясна.
Друга задача, която се сетих от лица е ...

Да се намери лицето на триъгълник по дадени дължини на три вътрешни ъглополовящи.

Но предполагам, че в целия форум няма да има човек, който да я реши.

И двете задачи ги има в отделни теми.

[v1rusman]

Според мен със сигурност ще има...а задачата откаде е,защото ми е позната от някакво математическо състезание ?

[ins-]

Ако питаш за задачата от ъглополовящите - не е от състезание. Може и да е открит проблем. Аз понякога си измислям задачи, опитвам се да ги реша и ... понякога става, но друг път - не. Тази досега никой не я е решил - пусках я в още 2 форума и ... няма никой. А хубавите задачи ... изглеждат познати. Чудех се, защото имам лицето чрез височините и медианите изразено, но с ъглополовящите - не.