задача

[Infernum]

Много ще се радвам, ако някои ми реши следната интересна задача:
Дадена е точката М=(x0,y0,z0), вътрешна за елипсоида x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1 и различна от координатното начало.
Да се намери уравнението на равнината, минаваща през точката М и отсичаща от елипсоида част, с минимален (максимален) обем, несъдържаща координатното начало.

[Реклама]

[Volen Siderov]

харесва ми задачата ти.Смятам че вапросната равнина е тази която е успоредна на доп.р-на в точката от радиус-вектора минаващ през тМ.Когато го докажа ще ти го пратя

[Futurolog]

Идеята е следната. Съществува линеен оператор А, елемент на групата SL(3), който преобразува елипсоида в сфера
( а 0 0 )
| 0 b 0 | 1/аbc = A
( 0 0 с )
. Също така, операторите от SL(3) имат детерминанта 1, т.е. не менят обема. Следователно е достатъчно да решим задачата в случая на сфера и после да се върнем с обратния оператор към елипсоида. В случая на сфера, равнината, която отсича минимален обем е перпендикулярна на радиуса, прекаран през точката М. Оттук пък следва, че тази равнина минава през М и е успоредна на допирателната равнина към точката, в която радиусът през М пресича сферата (има две точки, едната е минимум другата е максимум). Линейните оператори запазват свойството успоредност и центровете на коничните сечения (но в общия случай не запазват перпендикулярността). Следователно в случая на елипсоид, отговорът е равнината, минаваща през М, успоредна на допирателната равнина към елипсоида в пресечната точка на диаметъра през точка М (диаметър е отсека та през центъра на елипсоида). Т.е. отговорът е действително както предположи Волен Сидеров

Между другото, използването на оператор, запазващ обемите не е задължително, защото обемите се менят пропорционално и минимаксите в изправения случай (сфера) отговарят на минимаксите в деформирания случай (елипсоид), поради линейността на операторите.

[Kaloyan_Krastev]

Да ! Действително ако обема е инвариантен относно трансформацията , решението е коректно.

[Infernum]

Да наистина, това е един много интересен подход.
А как решаваш задачата за сфера ми е интересно.

[Volen Siderov]

Бихте ли дали кратко обяснение на въпросния "операторен" метод.Извинявам се за невежеството си,но решението макар и елегантно е за мен просто едно твърдение.Може да посочите саит или учебник кадето този метод е разгледан