задача

[Infernum]

Решете системата уравнения:
X2X3...Xn-1Xn=n
X1X3...Xn-1Xn=n
.........................
X1X2...Xn-2Xn=n
X1X2...Xn-2Xn-1=n

[Реклама]

[ianikia]

x1=x2=...=xn=n^(1/(n-1))

Ето още една задача. Да се реши с-мата:
x1.x2.x3...x2006=1
x1-x2.x3...x2006=1
x1.x2-x3...x2006=1
.........................
x1.x2.x3...x2005-x2006=1

[Infernum]

Браво, а ще споделиш ли как я реши??
!!!Моля публикувайте решения!!!

[Infernum]

Ето и твоята система.
Решение:
Представяш системата във вида:
x1...xn=1
x1-1/(x1)=1
x1x2-1/(x1x2)=1
...............
x1...xn-1-1/(x1...xn-1)=1
Означаваш:
Pj=x1...xj,j=1..n.
Тогава системата добива вида:
Pn=1
P1-1/P1=1
.........
Pn-1-1/Pn-1=1
Виждаш, че системата има n-1 на брой еднакви уравнения от вида:
Pj-1/Pj=1, j=1..n-1.
Като ги решиш относно Pj получаваш:
Pj=(1+-sqrt(5))/2, j=1..n-1;
Системата добива вада:
P1=x1=(1+-sqrt(5))/2
P2=x1x2=(1+-sqrt(5))/2
......................
Pn-1=x1x2...xn-1
Pn=1
След кратка преработка имаш:
x1=(1+-sqrt(5))/2
x2=1
...
xn-1=1
xn=2/(1+-sqrt(5))
Което е решението на твоята система.

Тука май няма много линейна алгебра.

[ianikia]

Ето решението на първата с-ма:
Тъй като n е естествено число >1, то Xi<>0 за всяко i от 1 до n.
Делим почленно 1-вото уравн. на 2-рото; 2-рото на 3-тото;... ; n-1-вото на n-тото и се получава с-мата:
Х2/Х1=1 т.е. Х2=Х1
Х3/Х2=1 Х3=Х2
.......... ........
Хn/Хn-1=1 Хn=Хn-1
Тогава напр. 1-вото уравнение придобива вида: Х1^(n-1)=n => X1=X2=...=Xn=n^(1/(n-1)) (Е, то и тук май няма много линейна алгебра)

А относно твоето решение на 2-рата с-ма - изпускаш решения, като считаш, че точно когато Р1=(1+sqrt(5))/2, то и Р2=(1+sqrt(5))/2, както и, че точно когато Р1=(1-sqrt(5))/2, то и Р2=(1-sqrt(5))/2. Но има и други възможности:
Р1=(1+sqrt(5))/2 и Р2=(1-sqrt(5))/2 ...
Р1=(1-sqrt(5))/2 и Р2=(1+sqrt(5))/2 ...

[Infernum]

Да, интересно ми беше, така и си помислих, че такова е твоето решение,
с почленно деление.Тогава наистина минава без линейна алгебра.
В интерес на истината, то е най-елементарно, после се сетих.
Идеята ми, обаче, беше взаимствана от подхода
за решаването на следната

задача:
При какво условие за реалните числа aij и ci, системата
x1^a11...xn^a1n=c1
..................
xn^an1...xn^ann=cn
има единствено решение, съставено от положителни числа.

Вярно е, че при публикацията на онази система, бях забравил да спомена, че Xi>0 (за да може да се приложи този подход)

А за твоята система:
Вярно, избързал съм, изпуснал съм решения.
Като гледам, тя има 2^(n-1) решения, обаче не виждам дали има начин да се опишат...
Или подхода ми за решаване е неправилен???
Ще се радвам, ако споделиш.
Поздрави!

[ianikia]

И аз стигнах до трудността да се опишат решенията, затова пуснах задачата във форума. Надявам се, че някой ще каже как да стане това.