Делимост на числата

[Nona]

Задача 1. Да се докаже, че за всяко естествено число n числото a_n=20²ⁿ+16²ⁿ-3²ⁿ-1 се дели на 323.

Задача 2. Да се докаже, че за всяко естествено число n числото a_n=n⁶-3n⁵+6n⁴-7n³+5n²-2n се дели на 24.

[Реклама]

[r2d2]

Зад.2 Ще док., че числото се дели на 8.

[tex]n^6-3n^5+6n^4-7n^3+5n^2-2n=n^6+5n^5+6n^4+n^3+5n^2+6n -8(n^5+n^3+n)[/tex]. Достатъчно е да докажем, че [tex]n^6+5n^5+6n^4+n^3+5n^2+6n[/tex] се дели на 8.
[tex]n^6+5n^5+6n^4+n^3+5n^2+6n=n^4(n^2+5n+6)+n(n^2+5n+6)=n(n^2+5n+6)(n^3+1)=n(n+1)(n+2)(n+3)(n^2-n+1)[/tex]

Произведението на 4 последователни числа се дели на 8.

Ще док., че числото се дели на 3.

[tex]n^6-3n^5+6n^4-7n^3+5n^2-2n=n^6-n^3-n^2+n-3(n^5-2n^4+2n^3-2n^2+n)[/tex].
Достатъчно е да докажем, че
[tex]n^6-n^3-n^2+n[/tex] се дели на 3.
Ако р е цяло [tex]p^3-p=(p-1)p(p+1)[/tex] се дели на 3.
[tex]n^6-n^3-n^2+n=((n^2)^3-(n^2))-(n^3-n)[/tex]

Упътване за зад1. 323=17.19

[Nona]

Благодаря

[r2d2]

Зад. 1

От равенството [tex]a^p-b^p=(a-b)(a^{p-1}+a^{p-2}b+a^{p-3}b^2...+ab^{p-2}+b^{p-1})[/tex] получаваме, че [tex]a^p-b^p[/tex] се дели на [tex]a-b[/tex].
Тогава [tex]a^{2n}-b^{2n}[/tex] се дели на [tex]a^2-b^2[/tex], a значи и на a+b.

[tex]20^{2n}+16^{2n}-3^{2n}-1=(20^{2n}-1^{2n})+(16^{2n}-3^{2n})[/tex] и двете събираеми се делят на 19.
Аналогично се показва, че числото се дели и на 17.