задача

[Infernum]

Решете системата, в зависимист от стойностите на реалния параметър а:
{|x|+|y|=1,x^2+y^2=a^2}

[Реклама]

[Lubo]

Както винаги, Infernum предлага една много интересна задача. И тъй като е по-стара от 15 дни - ще дам моето решение. Отворете 'link'-a по-долу за да го видите.

http://math123.net/bg/abs-okr.jpg

------------

А сега нещо не съвсем по темата.

От няколко дни съм на нова работа и съм много, много зает, а от Понеделник ще бъда дори още по-зает.

Това няма да ми позволи да участвувам активно във форума и много, много ще ми липсват тези чудесни дискусии.

Любо

[Infernum]

Много, много добре, Любо!!!D:
Допада ми много начина ти на решаване!!!Продължавай така!!
Ще отбележа само, че всички пресмятания могат да се направят и аналитично, без чертежи, само с тъждествени преобразувания, но това става малко по-сложно.
Единствената ми забележка е, че докато графичния метод дава ясна и точна представа за броя на решенията на системата във всеки подинтервал на изменение на параметъра, той не дава информация кои са именно тези решения.
В случаите, в които окръжността има общи точки с върховете на квадрата, решенията (координатите на тези точки) са очевидни. Не така, обаче, стои въпросът със случая, когато системата има осем решения. Просто трябва да се направят малко допълнителни разглеждания и да се разпише задачата аналитично.
Също така трябва да се покаже, че въпросните уравнения на системата са уравнения на криви, представляващи окръжност с променлив радиус 'а' и квадрат със сдиагонал 2.

[Infernum]

Много, много добре, Любо!!!
Допада ми много начинът ти на решаване!!!Продължавай така!!
Ще отбележа само, че всички пресмятания могат да се направят и аналитично, без чертежи, само с тъждествени преобразувания, но това става малко по-сложно.
Единствената ми забележка е, че докато графичния метод дава ясна и точна представа за броя на решенията на системата във всеки подинтервал на изменение на параметъра, той не дава информация кои са именно тези решения.
В случаите, в които окръжността има общи точки с върховете на квадрата, решенията (координатите на тези точки) са очевидни. Не така, обаче, стои въпросът със случая, когато системата има осем решения. Просто трябва да се направят малко допълнителни разглеждания и да се разпише задачата аналитично.
Също така трябва да се покаже, че въпросните уравнения на системата са уравнения на криви, представляващи окръжност с променлив радиус 'а' и квадрат с диагонал 2.

[Lubo]

Благодаря много Infernum,

Между другото, аз съвсем умишлено не дадох координатите на пресечните точки на окръжността със страните на 'квадрата'.

Също съвсем умишлено не съм направил обосновка на нито една от графиките.

Окръжността, би трябвало да не предизвика проблеми защото надявам се, колегите форумци знаят, че уравнението на окръжност с център в центъра на координатната система и с радиус = 'a' се дава с:

x^2 + y^2 = a^2

Страните на 'квадарата' също не би трябвало да предизвикат големи проблеми, като се знае, че:

|+x| = |-x|
|+y| = |-y|

за каквито и да било 'x' или 'y.'

Това би трябвало да помогне на колегите да интерпретират страните на 'квадрата' като части (Защо?) от правите линии с уравнения дадени по-долу.

x + y = 1
-x + y = 1
x - y = 1
-x - y = 1

Тези уравнения са 'еквивалентни' (Защо?) с малки ограничения (Какви? и Защо?) на уравнението:

|x| + |y| = 1

Отново, съвсем умишлено, оставям решението недовъшрено, включително и някои от необходимите обосновки, за които говорих по-горе.

Искам да оставя поле за самостоятелна работа на колегите.

:-)

Любо

[Lubo]

P.S.

Само още едно малко пояснние, въпреки че вероятно няма съществена нужда от него.

В случая на 8 решения, заради симетрията на задачта, която би трябвало да се види и без чертежите, но с тях става направо очевидна, за да се намерят координатите на всичките 8 пресечни точки е достатъчно да се реши само една система oт уравнения и то само за една променливите! (например 'x').

Тази ситема ще има две решения в този случай (система от едно линейно и едно квадратно уравнение, или ако искате, пресечните точки на окръжност и права).

Изборът на системата за решаване е според вкуса на този (тази), която я решава. Един от възможните избори е даден по-долу:

x^2 + y^2 = a^2
x + y = 1

(Кои са останалите изори на системи уравнения и защо са еквивалентни по между си?)

След като се намерят двете решения x1 и x2 (използувайки формулата за намиране на решенията на квадратни уравнения), координатите на всичките 8 точки (решенията на задачата в случая с 8 решения) са:

(x1, x2)
(x2, x1)
(-x1, x2)
(-x2, x1)
(-x1, -x2)
(-x2, -x1)
(x1, -x2)
(x2, -x1)

(Защо?)

--------------------------

Благодаря още веднъж за хубавите задачи, които предлагаш, Infernum!


Любо

[Infernum]

Така, Така!.Много се радвам!!Много правилно разсъждаваш!
Ето виждаш ли предимствата на така "тежката" аналитична геометрия!
Тази задача, без нейният мощен апарат, е доста по-тежка.
Ето и аналитичното решение:
Първото уравнение на системата се преобразува по следния начин:
x^2+y^2=a^2 <=> |x|^2+|y|^2=a^2 <=> (|x|+|y|)^2-2|x||y|=a^2
от второто уравнение се замества |x|+|y|=1.
Tогава системата добива вида:

|x||y|=(1-a^2)/2
|x|+|y|=1

От първото уравнение се вижда, че системата няма решение при
(1-a^2)/2<0, което е еквивалентно на |а|>1.

Така представена системата, се вижда, че тя е симетрична.
Тогава |x| и |y| са корени на следното квадратно уравнение:

(*) t^2-t+(1-a^2)/2=0

При |а|=1 това уравнение се редуцира до t(t-1)=0
Тогава системата се разпада на 2:
|x|=0
|y|=1
или
|x|=1
|y|=0
Решенията на изходната система, в този случай, са точките:
(x,y)=(0,1); (x,y)=(0,-1); (x,y)=(1,0); (x,y)=(-1,0).

Дискриминантата на (*) е:
D=1-4(1-a^2)/2=2a^2-1.
Ако D<0 системата отново няма решение.
Това е изпълнено при |а|<sqrt(2)/2.
Ако D=0, уравнение (*) има двоен корен.
Това е изпълнено за |а|=sqrt(2)/2.
Той е: t=1/2
Тогава системата има вида:
|x|=1/2
|y|=1/2
Решенията в този случай са точките с координати:
(x,y)=(1/2,1/2); (x,y)=(1/2,-1/2); (x,y)=(-1/2,-1/2); (x,y)=(-1/2,1/2).
Aко D>=0, уравнение (*) има два реални корена.
Това е изпълнено за 1>|а|>sqrt(2)/2.
Корените на (*) са:
t1=(1+sqrt(2a^2-1))/2
t2=(1-sqrt(2a^2-1))/2
Тогава изходната система има вида:
|x|=(1+-sqrt(2a^2-1))/2
|y|=(1+-sqrt(2a^2-1))/2
Разписана подробно, тя се разпада на обединение от осем системи, решенията, на която, накратко изглеждат така:
(x,y)=(t1,t2); (x,y)=(t1,-t2); (x,y)=(-t1,t2); (x,y)=(-t1,-t2);
(x,y)=(t2,t1); (x,y)=(t2,-t1); (x,y)=(-t2,t1); (x,y)=(-t2,-t1);
ОКОНЧТЕЛНО:
1) за |а|<sqrt(2)/2 или |a|>1, ситемата няма решение.
2) за |а|=1, системата има четири решения:
(x,y)=(0,1); (x,y)=(0,-1); (x,y)=(1,0); (x,y)=(-1,0).
3) за |a|=sqrt(2)/2, системата има четири решения:
(x,y)=(1/2,1/2); (x,y)=(1/2,-1/2); (x,y)=(-1/2,-1/2); (x,y)=(-1/2,1/2).
4) за 1>|а|>sqrt(2)/2, системата има осем решения:
(x,y)=(t1,t2); (x,y)=(t1,-t2); (x,y)=(-t1,t2); (x,y)=(-t1,-t2);
(x,y)=(t2,t1); (x,y)=(t2,-t1); (x,y)=(-t2,t1); (x,y)=(-t2,-t1);
където е прието:
t1=(1+sqrt(2a^2-1))/2
t2=(1-sqrt(2a^2-1))/2

[Lubo]

Много ми харесва алгебричното решение на Infernum!

Това е най-доброто, което трябва да съпровожда всяка една предложена тема във форума - една богата дискусия, дискусия за разнообразието в подходите към решаването на дадена задача.

Фактът, че всяко едно предлагано решение е просто едно от ВЪЗМОЖНИТЕ решения, а не е ЕДИНСТВЕНОТО решение за дадена конкретна задача прави математиката прекрасна!

А намирането на нови и донякъде неочаквани връзки с различни части на математиката и не само на математиката, по време на дискусиите обогатяват нашето знание и удоволствие от 'правенето' на математика!

В това направление, искам да се опитам да покажа, че аналитичната геометрия, използувана в моето решение не е много тежка.

Използуването на основни математически концепции лесно довежда до това, което наричаме уравненение на окръжност или уравнения на прави линии.

Особено за правите линии - графиките на уравненията на система линейни уравнения, вероятно учениците започват да чертаят в 6-ти или 7-ми клас без да ги асоциират с аналитичната геометрия.

Надявам се двата 'link'-a по-долу да хвърлят повече светлина на това, за което писах по-горе.

http://math123.net/bg/abs-okr1.jpg
http://math123.net/bg/abs-okr2.jpg

Балгодаря за плодотворната дискусия!

Любо