Граници

[Jorkata]

[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2)...(n+n)}}{n}[/tex]

[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{1^k+2^k+...+n^k}{n^{k+1}}[/tex]

[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{n}{a^{n+1}}(a+\frac{a^2}{2}+\frac{a^3}{3}+...+\frac{a^n}{n})[/tex]

[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n} sin(\frac{k}{n})[/tex]

[Реклама]

[Infernum]

Всичките изброени по-горе граници, могат да се разглеждат, като граници на Риманови интегрални суми, за някакви функции в някакъв интервал.

Нека е дадена непрекъсната функция f : [a, b] -> R.
Ако се извърши разделяне на интервала [a, b] на n подинтервала и се изберат произволни вътрешни точки за тези подинтервали, то по дефиниция

[tex]\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^{n}f(y_k)(x_{k+1}-x_k),[/tex]

където

[tex]a\equiv x_1<x_2<...<x_n<x_{n+1}\equiv b,[/tex]

[tex]x_k\le y_k\le x_{k+1} , \ k=1,2,...,n.[/tex]

В частност, ако интервалът [a, b] е разделен на равни части, т. е.

[tex]x_{k+1}-x_k=\frac{b-a}{n},[/tex]

а точките y_k са избрани така че

[tex]y_k=a+\frac{b-a}{n}k , \ k=1,2,...,n,[/tex]

се получава

[tex]\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{n \to \infty}\frac{b-a}{n} \sum_{k=1}^{n}f(a+\frac{b-a}{n}k).[/tex]

Така че за теб остава да докараш границите до пресмятане на определен интеграл.

[xyz]

Само ще добавя, че при първата задача трябва да се логаритмува предварително.