Неравенство

[Grands]

Предлагам на вниманието ви тази задача:

Намерете всички решения на неравенството:
[tex]\sqrt{35x^2+6.\sqrt{6}x+2}+\sqrt{35x^2-8.\sqrt{6}x+3}\ge\frac{7}{\sqrt{5}}[/tex]

[Реклама]

[Grands]

Някой с идея?

[tanas]

Предполагам, че трябва да измислим подходящо полагане, ама само толкова.

[Grands]

Предположи отново.

[tanas]

[Grands]

Не. Всъщност идеята не е алгебра.

[soldier_vl]

Аз направих следното: Разглеждаме 2 корена като 2 отделни функции. Намираме най-малката стойност на едната и най-малката стойност на другата. Събираме 2те най-малки стойности и получаваме число което е по-голямо от [tex]\frac{7}{\sqrt{5}} [/tex] След което всяко х е решение

[Spider Iovkov]

На мен ми излезе, че даденото неравенство се свежда до:

[tex]0\ge1225x^2-1890\sqrt{6}x+6[/tex],

тоест получих, че на числовата ос ще се нанесат ирационалните числа:

[tex]\frac{(28\sqrt{5}\pm945)\sqrt{6}}{1225};[/tex]

П. П. Неравенството наистина си е много сложничко, а ако приложим полагане, се усложнява още повече. Аз достигнах до своя извод, като повдигах на квадрат.
П. П. 2. Единственото полагане, което измислих, бе:

[tex]35x^2+2+6\sqrt{6}x.[/tex]

[tanas]

[Grands]

[tex]\frac{7}{\sqrt{35}}>\frac{7}{\sqrt{5}}[/tex]
Но мисля, че това е доста тежък начин. Помислете за нещо по-умно. Неравенство на триъгълника.

[tanas]

[soldier_vl]

[tanas]

[soldier_vl]

И аз получих същото, сигурно предния път съм допуснал няква грешка. Но тогава сигурно е збъркано условието. Не съм срещал задача от тоя тип която да не се решава по подобен начин. Неравенството просто трябва да ≥ от [tex]\sqrt{\frac{7}{ 5} } [/tex]

[Grands]

Още няколко дни да помислите и ще ви дам решението.

[Irrefutable]

Аз получавам всяко Х е решение.
1) 2-те страни са положителни. Вдигаме на квадрат, от ляво оставяме корена от дясно израза се получава винаги по-малак от 0
2) Допустимите стойности също са за всяко Х

Едит: видях си грешката, от дясно има корени.

[Grands]

Отговор: всяко [tex]x\in R[/tex].

[soldier_vl]

Грандс пусни решение плс

[tanas]

[soldier_vl]

[tanas]

[dimitrov89]

мисля си, че е някаква геометрия, по-точно координатна система, дължини на страни, н-во в триъгълник... нещо такова... утре в даскало ще я помисля

[Grands]

Тъй като никой не реши задачата, предлагам решение:
1) x=0:
[tex]\sqrt{2}+\sqrt{3}>\frac{7}{\sqrt{5}}[/tex]
Следователно, неравенството е изпълнено.

2)x>0:
Нека [tex]\Delta OAB[/tex] и [tex]\Delta OBC[/tex] са такива триъгълници, че (виж надолу):
[tex]OA=\sqrt{2}, OB=\sqrt{35}x, OC=\sqrt{3}[/tex]
[tex]cos\alpha=\frac{-3\sqrt{3}}{\sqrt{35}}, cos\beta=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{35}}[/tex]

Тогава, от косинусова теорема се получава:
[tex]AB=\sqrt{35x^2+6\sqrt{6}x+2}, BC=\sqrt{35x^2-8\sqrt{6}x+3}[/tex]
Но от неравенство на триъгълника:
[tex]AB+BC>AC=\sqrt{2+3-2\sqrt{2}\sqrt{3}cos(\alpha+\beta)}[/tex]
Прилагате формулата на cos от сбор на два ъгъла, при което се получава [tex]\frac{7}{\sqrt{5}}[/tex]
Следователно, неравенството е изпълнено за всяко x>0.

При x<0, точката В е симетрична спрямо О и разсъжденията са същите.

Хубава задача, е моето мнение.