Едно неравенство

[tanas]

Моля за помощ.

[Реклама]

[soldier_vl]

1.3.5...(2n-1)≤[tex](\frac{1+3+5+...+(2n-1)}{n})^n[/tex] -Koши
2.4.6...2n≤[tex](\frac{2+4+6+...+2n}{n})^n[/tex] -Коши
Делим ги почленно и получаваме
[tex]\frac{1.3.5...(2n-1)}{ 2.4.6...2n} [/tex]≤[tex]\frac{1}{2^n} [/tex]
Повдигаме на квадрат и получаваме, че дадената дроб е по малка или равна на [tex]\frac{1}{4^n} [/tex]
И сега трябва да докажем, че [tex]\frac{1}{4^n} < \frac{1}{n } [/tex] <=> [tex]n < 4^n[/tex] , което е изпълнено за всяко естествено n

[tanas]

Задачата е дадена на школа за 7-ми и 8-ми клас.Те едва ли знаят Неравенството на Коши.
Ако това може да ви помогне, задачата е дадена в урок "Индукция".

[soldier_vl]

Пробвах с Математическа индукция но стигам до к+1<0, което не е вярно. Сигурно някъде бъркам.

[r2d2]

[tex]A^2=\frac{1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2...(2n-1)^2}{2^2 \cdot 4^2 \cdot 6^ 2...(2n)^2}<\frac{1^2}{2^2-1} \cdot \frac{3^2}{4^2-1} \cdot \frac {5^2}{6^2-1}...\frac{(2n-1)^2}{(2n)^2-1}=\frac{1}{2n+1} \Rightarrow A<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}[/tex]

[r2d2]

[Grands]

[soldier_vl]

[tanas]