Трудни задачи

[Pinetop Smith]

Във форума за 7-ми клас има такава тема, мисля, че и тук е редно да има. Всеки е свободен да се включва със задачи и решения.

Почвам с едно лесно Диофантово уравнение:

[tex]m(n^2 + 36) + n(m^2 - 36) + m^2(m-12) = 0[/tex]

Да се реши в цели числа.

[Реклама]

[soldier_vl]

Тазаи задача ми се падна на "Иван Салабашев" 2005г. темата е за 10.,11.,12. клас

[Pinetop Smith]

Да, оттам е, но всъщност е лесна.

[Pinetop Smith]

[tex]4(x-1)y^2z^2 + 4(y-1)z^2x^2 + 4(z-1)x^2y^2 = 3x^2y^2z^2[/tex]

Един моторист трбябва да измине пътя от А до В. Първия ден той изминава 1/n от целия път(n - естествено). Втория ден - 1/m от останалия път(m - естествено). Третия ден 1/n от останалия път и четвъртия ден - 1/m от останалия. Оказало се, че в края на 4-ия ден, той изминал 3/4 от пътя. Да се намерят m и n, ако m < n.

Първата задача е трети кръг на олимпиадата за 8-ми клас, а втората - от трети за 7-ми клас.

[r2d2]

[tex]m(n^2 + 36) + n(m^2 - 36) + m^2(m-12) = 0[/tex]

Записваме уравнението като: [tex]m\cdot n^2+ n(m^2 - 36)+m(m^2-12m+36)=0[/tex]
Ако m=0 => n=0. При m ≠ 0 разглеждаме уравнението като квадратно спрямо n.

[tex]D=(m^2-36)^2-4m^2(m-6)^2=(m-6)^2((m+6)^2-4m^2)=(m-6)^2(3m+6)(6-m)[/tex]
За да има уравнението решения трябва [tex]D \ge 0 \Rightarrow m \in [-2;6][/tex].

Ще е добре някой да продължи.

[JusTok]

[ins-]

JusTok - задачата не е трудна - екзотиката с биномните коефициенти е равна на: [tex](1+1)^{n}[/tex]
Николай.Каракехайов - дели се на [tex]x^{2}y^{2}z^{2}[/tex] и се използва неравенство между средно аритметично и средно геометрично като се замести x=y=z. Се получават решенията. Може за разнообразие да се разгледат и случаи, за неизвестните = на 0.