Задача от делимост

[tanas]

Докажете без индукция, че 5ⁿ-4n-5 се дели на 16 за всяко n-естествено.

[Реклама]

[soldier_vl]

Пробвах с всяко n<7 и не се получава. Сигурен ли си за условието??

[v1rusman]

Ами и аз мисля,че нещо условието не е правилно- 5^n+1 е коректно или ?

[v1rusman]

Ако е така и решението трябва да е без индукция,единствения начин е с формули за съкратено умножение.

[tanas]

Много моля за извинение, но така става когато бърза човек и когато не внимава.Правилното условие е:
Докажете без индукция, че 5ⁿ⁺¹-4n-5 се дели на 16 за всяко n-естествено.
А относно формулите за съкратено умножение ... не виждам (не казвам, че не може) как би могъл да ги ползваш в случая.

[v1rusman]

Използвам формулата aⁿ - bⁿ (тя е обобщение на разликата на две числа на 2-ра,3-та,4-та и т.н.т степени),както и =>
xⁿ - 1 =(x-1)(x^n-1 + x^n-2 + x^n-3 + ....+ x + 1).
5ⁿ⁺¹ - 4n-5=5(5ⁿ - 1 )-4n=
=5.(5-1)(5^n-1 + 5^n-2 + .....+5+1)-4n=
=4[5(5^n-1 + 5^n-2 + .... +5² +5+1)-n]=
=4[(5ⁿ - 1)+(5^n-1 - 1 )+.....+(5² - 1)+(5-1)]=
=4.(4.k)=
=16k => дели се на 16
ПП: За първи път пиша по този начин степените(защото ако бях писал 5^н+1 нищо нямаше да се разбере),така че може решението да не излезе по подходящ начин.

[tanas]

[Nona]

Задачата може да се обобщи:

Да се докаже, че за всеки две естествени числа n и k
(k-1)² дели числото a_n=kⁿ⁺¹ - (k-1)n - k.