Въпрос за индукция

[savage309]

Привет. Трябва да реша определен брой задачи за индукция, уж не са сложни. Работата е там, че трябва не да докажа тъждество, а първо да намеря формулата за резултата. Например :
1.2+2.3+...+n(n+1)=?
Това, което даскала каза е да напишем първите 5-6 и да търсим зависимост между резултатите .. а ми се струва малко кофти работа .. Има ли по лесен начин ?
едит : уу, темата не е за тука май

[Реклама]

[v1rusman]

Нормално е да срещап трудност,защото е много по-лесно да доказваш тъждество,отколкото да намираш "формула" за нещо,базирайки се на някаква закономерност.Започваш:
n=2 => 1.2=2
n=3 =>1.2+2.3+3.4=20
n=4 =>1.2+2.3+3.4+4.5=40
n=5 =>1.2+2.3+3.4+4.5+5.6=70
Повече сметки не са ти необходими(но все пак трябва да провериш за поне 3 резултата).
Сега трябва да забележиш закономерност между "n" и числата най-отдясно.
n=2 => 1.2=2
крайният резултат може да се представи като произведение на "n" с друго число
n=3 => 1.2+2.3+3.4=20
тук n=3 не дели 20,но можеш да представиш 20 като произведение на дробта 3/3(тя е равна на 1 и следователно не променя 20 ) и някакви числа х и у => 3/3 .х.у=20
Лесно намираш,че числата х и у са 4 и 5 => при n=3 имаш "формулата" (3.4.5)/3 (като вече знаеш.че дробта 3/3=1 не променя произведението)
Аналогично смяташ за n=4(в представянето на числото 40 задължително трябва да участва 4),но за да има закономерност трябва да представиш числото 40 като дроб със знаменател 3(защото в предишния пример е (3.4.5)/3 ),
т.е 40= (4/3) . w . z -пак някакви числа(дробта е 4/3,защото трябва да участва n=4,а предишния пример е (3.4.5)/3 - за втори път го споменавам!) => w=5 z=6
40=(4.5.6)/3.От примера за n=3 и n=4 имаш:
20=(3.4.5)/3 за n=3
40=(4.5.6)/3 за n=4
Вече можеш да направиш хипотезата,че търсената "формула" за число "n" е [n(n+1)(n+2) ]/3 . Имаш хипотеза=>трябва да докажеш тъждеството,което е лесна работа
ПП:Коментарът ми може да ти се стори много дълъг(което е истина),но се опитах по-най достъпния начин да обясня идеята си.Ако не успееш да разбереш нещо,питай!

[savage309]

Ба!
Много ти благодаря, доста полезно. Аз си знаех, че трябва да намирам закономерност, но проблема е там, че тя може да бъде всякаква, навярно ще ми трябва повече опит за да знам къде да 'търся'.
Жив и здрав

[g_kulekov]

Май в условието има техническа грешка: n-тият член е записан n(n-1), а трябва да е
n(n+1), иначе няма първи член.
v1rusman, коригирай първите няколко реда - сумите за първите няколко n. Корекцията е формална и не променя изведената формула.

[savage309]

[Methuselah]

Как ти се казва даскалът?

[savage309]

[Methuselah]

това исках да чуя

[savage309]

[v1rusman]

Каква история ? Или сте си писали нещо на ЛС-та.

[Methuselah]

Не бе - няма нищо интересно.
Делев е пич.

[savage309]

Просто питам защо се интересува
Иначе е пич, там все още знам за какво става дума

[xyz]

v1rusman,
Мислиш ли, че този директен начин е най-добрият? Ето например, ако сумата беше не на [tex]x(x+1)[/tex], а на [tex]x(x+2)[/tex] - дали ще можеи да го сметнеш? Ако искаш и ти ме изпитай - аз имам един метод, посредством който да изчислявам подобни суми и то директно.
Ето един друг (недиректен) начин, за намиране на формулата. Имаме, че
n(n+1)=n^2+n
Следователно търсената сума е сума на сумата от квадратите + сумата от първите степени. Формулите за тях, обаче, мисля че трябва да са известни:
n(n+1)/2
n(n+1)(2n+1)/6
и сумата им става:
n(n+1)(2n+4)/6=n(n+1)(n+2)/6


А и някой мод да премести темата, защото това не е линейна алгебра

[v1rusman]

Първо-това не е директен начин.Второ-това е индукция.
ПП:Ако се търси до х(х+2) няма да имаме 1.2+2.3+3.4....,а 1.(1+2)+3(3+2)...

[v1rusman]

Освен това какво означава:"Формулите за тях, обаче, мисля че трябва да са известни:
n(n+1)/2
n(n+1)(2n+1)/6
и сумата им става:
n(n+1)(2n+4)/6=n(n+1)(n+2)/6 "
Известни или не savage309 се затруднява да намери тези "формули",така че сега трябва да му обясниш и как се получават.

[Fed]

И преди да влезеш във ФМИ си имал контакт с Делев.
И аз съм имал, и Метху е имал...

[DevilFighter]

Кой е гл. ас. Делев Да не е член на този форум

[Methuselah]

Искам да бъда модератор на този раздел и на другите раздели във висшата математика щото вече ще я уча...

[Infernum]

Ми аз пък искам всеки потребител да бъде модератор на целия форум. Така ще е най-добре за всички.