Малко обяснения за модулите!

[ismarti]

В Математиката като видя модули направо ми се къса сърцето!Другото е много добре,но модулите ме търмозят!Някой би ли ми разяснил какво точно е модула...Ето един пример от сборника за 9-и клас:
5x/(|x|-2)+2/(x^2-4)+3/(|x|+1)
Намерете множеството от допустими стойности!
x^2-4=/0
(x+2)(x-2)=/0
x=/-2
x=/2
Ето част от задачата,но модулите-не мога просто!

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Модулът е специфично свойство, ако мога така да го нарека. Модулът прави всяко число положително: отрицателното се превръща в своето противоположно, положителното остава непроменено.
|x|–2 различно от 0. Тогава за модула имаш два случая: х по-голямо или равно на 0; тогава модулът е положителен и х трябва да е различно от 2; при х по-малко от 0 модулът ще е отрицателен (минус пред минус е плюс) и х ще трябва да е различно от –2.

[Spider Iovkov]

Модулът е необходим при изразите, в които има четен коренен показател. Тук изразът под корена трябва да бъде винаги положителен.
Пример: √(–2)². Както знаем, не е възможно коренът да е равен на –2, понеже число, повдигнато на четна степен, никога не може да бъде отрицателно. Затова и коренът винаги трябва е по-голям или равен на нула. В случай като този с двойката е нужно да използваме модула. Коренуването и степенуването са две обратни действия и това е причината коренът и степента да изчезнат. След подобни действия остава модулът на числото под корена. √(–2)² = |–2|. Модулът на –2 е 2.
Дано съм го обяснил разбираемо...

[Spider Iovkov]

√х²=│х│.

[Spider Iovkov]

Модулите не са толкова сложни, колкото изглеждат.

[ismarti]

[g_kulekov]

Разходи се до тези три места:

http://bg.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%B1%D1%81%D0%BE%D0%BB%D1%8E%D1%82%D0%BD%D0%B0_%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82

http://www.math10.com/bg/algebra/uravnenia-s-modul.html

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?p=16663&highlight=#16663

[xyz]

Не виждам, къде е проблемът в уравненията с модули. Ето я дефиницията.
[tex]|x| := \left\{ \begin{array}{ll} x, & x \geq 0 \\ -x, & x<0 \end{array}\right.[/tex]

Ето например, аз не си спомням уравнението на една фигура, но помня формата й, че тя е като показаната на чертежа (т.е. това което е с дебели черни линии). Едно добро запознаване с уравненията с модули ще е да разберете по-добния текст, който изведох не особено трудно.

Сега да се опитаме, да намерим уравнението с модули, чиято графика е тази осмица.
Отначало, очевидно е, че фигурата е симетрична относно x осите y. Получаваме, че ако (x,y) е точка от графиката, то трябва също (-x,y); (x,-y); (-x,-y) да са от графиката. Така ако f(x,y) е графиката на фигурата в първи квадрант, то за да я "дублираме" в останалите квадранти, то е необходимо да разгледаме f(|x|,|y|). И така оттук нататък ще слагаме на x и y модули и ще строим графиката в първи квадрант.
Следващата ни задача е да направим все някаква графика. Да започнем от това: |x|=|y|. Очевидно е, че решенията са начертания на чертаж червен лъч ъглополовяща на първи квадрант.
Разгледаното по-горе уравнение се нуждае от някои промени, т.е. ще опитаме да преместим лъча, така че да съвпадне с части от графиката. Това са например зеления и светлосиния лъч. Забележете, че те покриват части от графиката, но също така има и части извът графиката. Това отново не ни интересува за момента. Важното е да напишем уравненията на тези лъчи. Първият - разглеждан като функция - е с 1 по-нагори от червения лъч, докато другият е с 1 по-надолу. Така стигаме до извода, че уравненията им са съответно: |y|=|x|+1 и |y|=|x|-1.
В графиката ни трябва да участват части и от двата показани по-горе лъча. Затова ще опитаме да обединим горните уравнения. Очевидно, че можем да ги преобразуваме съответно до |y|-|x|=+1 и |y|-|x|=-1. Но тогава очевидно те могат да се обединят в едно уравнение: | |x|-|y| |=1.
Вече имаме графиката на обединението на зеления и светло-син лъчи. На практика, обаче, се вижда че на нас ни трябват тези лъчи, само в частите им, които са под линията с уравнение y=3! Така идеята ни ще бъде: да добавим нещо, което е 0 под пункцираната линия, а над нея да влиае за променяне на графиката. По-конкретно заради исканата симетрия искаме ако (x,y), 0<=x, 0<=y<=3 е точка от графиката, то такава да бъде и (x,6-y).
И така започваме с конструирането на искания от горния абзац нулев израз. Ако |y|<3, то 3-|y|>0 и следователно 3-|y| = | 3-|y| |. От друга страна (3-|y|)+|y|=3, откъдето в разглеждания случай: | 3-|y| | + |y| = 3. Очевидно е още, че ако |y| стане по-голямо от 3, то тогава предното уравнение няма да бъде изпълнено (защото външният модул ще се "задейства", т.е. под него ще има отрицателен аргумент). Така като желана нула може да изберем израза: | 3-|y| | + |y| - 3.
Сега правим нещо на късмет, т.е. събираме гореполучения израз с подмодулната величина на уравнението на зеления и светло син лъчи. След съкращение ще получим: | |x|+| 3-|y| | -3 |=1. Проверяваме, че ако точката (|x|,y), y<=3 удовлетворява | |x|+|3-y| -3 |=1, то и точката (|x|,|6-y|) ще го удовлетворява, което е условието за описваната по-предния абзац симетрия. Направихме нещо странно: освободихме y от модула, за да покажем, че симетрията ще изобрази не само графиката на полученото уравнение | |x|+| 3-|y| | -3 |=1, а на целите лъчи, т.е. и в частта им в четвърти квадрант (в противен случай на осмицата ще й липсва върха).
Окончателно получихме, че | |x|+| 3-|y| | -3 |=1 е точно графиката на исканата осмица.