две задачки от състезания

[Night_Flower]

1. На окръжност са записани 128 цели числа. За един ход между всеки две съседни числа се записва тяхната сума, а самите числа се изтриват. Докажате, че след няколко хода всички числа ще се делят на 128.

2. На окръжност са нанесени 100 точки, една от които означаваме с "1". Тази две точки след нея с "2", тази три точки след "2" с "3" и т.н. докато се появят точките до "98". Кое е най - малкото число, нанесено при точката, при която е написано и "98"?

[Реклама]

[Spider Iovkov]

На втората задачка докарах някакъв отговор, но не знам дали е така...

[xyz]

За първа задача е достатъчно да разгледаме варианта при който имаме една единица и 127 нули. Всички останали варианти се получават като почленни суми на такъв вариант. След 2 хода ще имаме точно 2 нечетни стойности на разстояние 2, след 4 ще имаме точно 2 нечетни стойности на разстояние 4 и т.н. - това се доказва лесно с индукция. След 128 хода ще имаме 2 нечетни стойности на разстояние 128. Всъщност тези нечетни стойности ще са "една върху друга", защото имаме точно 128 позиции. Така сумата им ще е четна, т.е. няма да имаме нечетни стойности. И така след 128 хода всичко е четно, след 2.128 хода всичко ще се дели на 4 и т.н. след s.128 всичко ще се дели на 2^s.

[Night_Flower]

благодаря за втората задача xyz ... макар да не съм сигурна дали я схванах добре. Ако някой може да даде решение на първата много ще се радвам