Доказателство за растяща редица...Малко помощ!

[breni]

Сега си преговарям материала за растящи и намаляващи редици...Имам за домашно няколко лесни задачки, но...не съм сигурна дали действам правилно. Ще ви напиша задачките и моите решения, ако имате време ще съм ви благодарна, ако само ги прегледате и ми кажете - къде греша? :

зад. Докажете, че редицата {an} е растяща:

А) а_n=n²-n
Моето решение:
a_n+1 = (n+1)²-n+1 = n²+2n+1-n+1 = n²+n+2
a_n-a_n+1 = n²-n-n²+n+2 = 2

2>0 => a_n-a_n+1>0
a_n>a_n+1

Б) а_n = (7n-1)/2n
a_n+1 = 7(n+1)-1/2(n+1) = (7n+7-1)/2n+2 = (7n+6)/2n+2
a_n-a_n+1 = (7n-1)(2n+1)-2n(7n+6) = -7n-1 /.(-1) = 7+1 > 0

В) a_n = 3ⁿ
Моето решение:
a_n+1 = 3ⁿ⁺¹
a_n-a_n+1 = 3ⁿ-3ⁿ⁺¹
Сега не знам как да продължа?

Г) а_n = 2ⁿ-3
Моето решение:
а_n+1 = 2ⁿ⁺¹-3
Сега не знам как да продължа?

Д) a_n = √n
Моето решение:
а_n+1 = √n+1
Сега не знам как да продължа?

ВЯРНО ЛИ ДЕЙСТВАМ????????????

[Реклама]

[g_kulekov]

Внимавай, трябва да докажеш, че всеки следваш член е по-голям от предходния!
Огледай внимателно къде трябва да сложиш скоби и какво точно стои под радикалите.

[Fed]

Опитай сама да си оправиш грешките следвайки препоръките на g_kulekov.
Ако не успееш...:

A)

a_n=n²-n
a_n+1=(n+1)²-(n+1)

a_n+1-a_n=n²+2n+1-n-1-n²+n=2n>0, защото n е естествено число (1,2,3...) => растяща, тъй като всеки член ще е по-голям от предишния.

Б)

а_n=(7n-1)/2n
a_n+1=(7(n+1)-1)/2(n+1)

a_n+1-a_n=7/2 - 1/2(n+1) - 7/2 + 1/2n = 1/2n - 1/2(n+1) >0, защото вадим дроби с еднакъв числител, но първата е с по-малък знаменател...=> растяща

В)

а_n=3ⁿ
a_n+1=3ⁿ⁺¹

a_n+1-a_n=3ⁿ⁺¹-3ⁿ
Степените в случая са естествени числа по-големи от 1; 3>1; n+1>n => 3ⁿ⁺¹>3ⁿ => 3ⁿ⁺¹-3ⁿ>0

Г)


а_n=2ⁿ-3
a_n+1=2ⁿ⁺¹-3

a_n+1-a_n=2ⁿ⁺¹-3-2ⁿ+3=2ⁿ⁺¹-2ⁿ>0
по същата логика като в В)

Д)

а_n=√n=n^1/2
а_n+1=√(n+1)=(n+1)^1/2

a_n+1-a_n=(n+1)^1/2-n^1/2
n+1>n => (n+1)^1/2 > n^1/2
=> (n+1)^1/2-n^1/2>0
=> растяща.