Неравенство с определен интеграл

[vladob]

Нека f(x) е непрекъсната функция в интервала [0, 1] и нека 0< s ≤ f(x) ≤ t, за всяко x от интерва [0,1].
Докажете, че е в сила неравенството

[tex]st\int_{0}^{1}\frac{dx}{f(x)} \le s + t - \int_{0}^{1}f(x)dx.[/tex]

[Реклама]

[Infernum]

Неравенството, което искаш да се докаже, може да се запише по следния начин

[tex]st\int_{0}^{1}\frac{dx}{f(x)}-(s+t)\int_{0}^{1}dx+\int_{0}^{1}f(x)dx\le 0[/tex]

Като се вземе предвид адитивното и хомогенното свойство на определения интеграл, може да се запише

[tex]\int_{0}^{1}\frac{st}{f(x)}-(s+t)+f(x)dx\le 0[/tex]

От теоремата за средните стойности следва, че съществува точка p от интервала [0, 1], за която

[tex]\int_{0}^{1}\frac{st}{f(x)}-(s+t)+f(x)dx=\frac{st}{f(p)}-(s+t)+f(p).[/tex]

Тогава задачата се свежда до доказване на неравенството

[tex]\frac{st}{f(p)}-(s+t)+f(p)\le 0.[/tex]

Понеже 0<f(x), ако означиш f(p) = y, последното неравенство е еквивалентно на неравенството

[tex]y^2-(s+t)y+st\le 0.[/tex]

Oзначaваш

[tex]g(u)=u^2-(s+t)u+st.[/tex]

Очевидно, числата t и s са корени на квадратния тричлен g(u).
Понеже 0<s≤y≤t и g(0)=st>0, то g(u)≤0 за s≤u≤t.

С това неравенството е доказано.