пресметнете сумата

[geriiiii]

Пресметнете сумата

[tex]\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}[/tex]

С метода на пълната математическа индукция, докажете равенствата

[tex]\sum_{k=1}^{n}sin kx= \frac{sin{\frac{nx}{2}}sin{\frac{(n+1)x}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}}[/tex]


[tex]\sum_{k=1}^{n}cos kx= \frac{cos{\frac{nx}{2}}sin{\frac{(n+1)x}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}}-1[/tex]

където x ≠ 2кπ

[Реклама]

[Infernum]

[tex]\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)(k+2)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2k}-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2(k+2)}=\frac{1}{2}(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k+2}-\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1})-\frac{1}{2}(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k+1}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k})=[/tex]

[tex]=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-...-\frac{1}{n+1})-\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{1}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-...-\frac{1}{n})=\frac{1}{2}(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}+1)=\frac{n(n+3)}{4(n+1)(n+2)}[/tex]

[Infernum]

И двете равенства могат да бъдат доказани едновременно, с помощта на комплексни числа. За целта се разглежда сумата

[tex]\sum_{k=1}^{n}cos kx + i\sum_{k=1}^{n}sin kx = \sum_{k=1}^{n}cos kx + i sin kx=\sum_{k=1}^{n}e^{ikx}[/tex]

Трябва да се докаже, че за произволно естествено число n е в сила

[tex]\sum_{k=1}^{n}e^{ikx}=\frac{cos{\frac{nx}{2}}sin{\frac{n+1}{2}x}}{sin{\frac{x}{2}}}-1+i \frac{sin{\frac{nx}{2}}sin{\frac{n+1}{2}x}}{sin{\frac{x}{2}}}=\frac{sin{\frac{n+1}{2}x}}{sin{\frac{x}{2}}}e^{i\frac{nx}{2}}-1[/tex]

При n=1 имаш

[tex]\sum_{k=1}^{1}e^{ikx}=e^{ix}=cos x + i sin x.[/tex]

От друга страна

[tex]\frac{sin{\frac{1+1}{2}x}}{sin{\frac{x}{2}}}e^{i\frac{x}{2}}-1=\frac{sin x}{sin{\frac{x}{2}}}(cos{\frac{x}{2}}+i sin{\frac{x}{2}})-sin^2(\frac{x}{2})- cos^2(\frac{x}{2}) = 2 cos^2(\frac{x}{2})-sin^2(\frac{x}{2})-cos^2(\frac{x}{2})+i sin x = cos x +i sin x.[/tex]

Тогава равенството

[tex]\sum_{k=1}^{n}e^{ikx}=\frac{sin{\frac{n+1}{2}x}}{sin{\frac{x}{2}}}e^{i\frac{nx}{2}}-1[/tex]

е изпълнено при n=1.

Допускаш, че това равенство е изпълнено за произволно естествено число n=m, т.е., че

[tex]\sum_{k=1}^{m}e^{ikx}=\frac{sin{\frac{m+1}{2}x}}{sin{\frac{x}{2}}}e^{i\frac{mx}{2}}-1.[/tex]

Съгласно принципa на пълната математическа индукция, ако се окаже, че предпоследнотo равенство е вярно и за естественото число n=m+1, то ще бъде вярно за всяко естествено число n.
И така, проверява се дали е в сила равенството

[tex]\sum_{k=1}^{m+1}e^{ikx}=\frac{sin{\frac{m+2}{2}x}}{sin{\frac{x}{2}}}e^{i\frac{(m+1)}{2}x}-1.[/tex]

От една страна

[tex]\sum_{k=1}^{m+1}e^{ikx}=\sum_{k=1}^{m}e^{ikx}+e^{i(m+1)x}=\frac{sin{\frac{m+1}{2}x}}{sin{\frac{x}{2}}}e^{i\frac{mx}{2}}-1+e^{i(m+1)x}.[/tex]

Последното равенство е в сила, имайки предвид допускането.
Извършват с следните преобрзувания:

[tex]\frac{sin{\frac{m+1}{2}x}}{sin{\frac{x}{2}}}e^{i\frac{mx}{2}}-1+e^{i(m+1)x}=(\frac{sin{\frac{m+1}{2}x}}{sin{\frac{x}{2}}} e^{-i\frac{x}{2}}+e^{i\frac{m+1}{2}x})e^{i\frac{m+1}{2}x}-1=[/tex]

[tex]=\frac{sin{\frac{m+1}{2}x} cos {\frac{x}{2}}+cos{\frac{m+1}{2}x} sin{\frac{x}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}} e^{i\frac{m+1}{2}x}-1=\frac{sin(\frac{m+1}{2}x+\frac{x}{2})}{sin{\frac{x}{2}}}e^{i\frac{(m+1)}{2}x}-1=\frac{sin{\frac{m+2}{2}x}}{sin{\frac{x}{2}}}e^{i\frac{(m+1)}{2}x}-1.[/tex]

Следователно равенството е изпънено.