Функционален ред

[vladob]

Нека

[tex]f(x)=\sum_{n=2}^{ \infty}\left(5^n+\frac{3}{n+2 } \right)x^n [/tex]

а) Да се намери областта на сходимост на дадения ред.
б) Да се пресметне сумата f(x) на редa.

[Реклама]

[Infernum]

Областта на сходимост на изходния ред се получава, като сечение на областите на сходимост на редовете

[tex]\sum_{n=2}^{\infty}5^nx^n[/tex]

и

[tex]\sum_{n=2}^{\infty}\frac{3x^n}{n+2},[/tex]

а сумата му - като сбор от сумите на двата реда поотделно.

За първия ред може да се запише

[tex]\sum_{n=2}^{\infty}5^nx^n=\sum_{n=2}^{\infty}(5x)^n=\sum_{n=0}^{\infty} (5x)^n-5x-1=\lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}(5x)^k-5x-1=\lim_{n \to \infty}\frac{(5x)^{n+1}-1}{5x-1}-5x-1[/tex]

Последната граница е крайна, когато |5x|<1.
Тогава областта на сходимост на първия ред е

[tex]|x|<\frac{1}{5},[/tex]

а сумата му е

[tex]\lim_{n \to \infty}\frac{(5x)^{n+1}-1}{5x-1}-5x-1=\frac{25x^2}{1-5x}.[/tex]

За втория ред, при x≠0, може да се запише

[tex]\sum_{n=2}^{\infty}\frac{3x^n}{n+2}=\frac{3}{x^2} \sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{n+2}}{n+2}=\frac{3}{x^2}(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3})[/tex]

Областта на сходимост на реда

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}[/tex]

е -1≤x<1, а сумата му e -ln(1 - x)

(за подробности виж http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=883).

Тогава при x≠0,

[tex]\sum_{n=2}^{\infty}\frac{3x^n}{n+2}=\frac{3}{x^2}(-\ln(1-x)-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3})=-\frac{6 \ln (1-x)+6x+3x^2+2x^3}{2x^2}.[/tex]

Тогава областта на сходимост на реда

[tex]f(x)=\sum_{n=2}^{\infty}5^nx^n+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{3x^n}{n+2}=\sum_{n=2}^{\infty }(5^n+\frac{3}{n+2})x^n[/tex]

e x E [-1, 1) ∩ (-1/5, 1/5) => x E (-1/5, 1/5), а сумата му е функцията

[tex]f(x)=\{\frac{25x^2}{1-5x}-\frac{6 \ln (1-x)+6x+3x^2+2x^3}{2x^2}\ , \ x \ne 0\\0 \ , \ x=0[/tex]