сходимост на несобствен интеграл

[vladob]

Да се изследва за сходимост несобственият интеграл

[tex]\int_{0}^{ 15} \frac{arctg x}{\sqrt[4]{x} } dx[/tex]

[Реклама]

[Infernum]

Този интеграл не е несобствен. Подинтегралната функция е непрекъсната и ограничена в интеграционния интервал, който е краен.

[vladob]

Во смисол на тоа што подинтегралната функција не е определена во x=0

[tex]\int_{0}^{15 } \frac{arctg x}{\sqrt[4]{x} }dx = \lim_{a \to 0} \int_{a}^{ 15} \frac{arctg x}{\sqrt[4]{x} }dx[/tex]

сметав дека интегралот е несвојствен.
Затоа мислам дека можеби треба да го покажеме следното:

Нека [tex]f(x)=\frac{arctg x}{\sqrt[4]{x} }[/tex] и [tex]g(x)=\frac{1}{\sqrt[4]{x} }[/tex]

[tex]\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x) } = \lim_{x \to 0} arctg x = 0[/tex]

Ова значи дека ако [tex] \int_{0}^{15 }g(x)dx[/tex] конвергира ќе конвергира и [tex] \int_{0}^{15 }f(x)dx[/tex]

[tex]\int_{0}^{15 } \frac{dx}{\sqrt[4]{x} } = \lim_{a \to 0} \int_{a}^{ 15} \frac{dx}{\sqrt[4]{x}}= \frac{4} {3} \lim_{a \to 0} (\sqrt[4]{15^3} -\sqrt[4]{a^3}) = \frac {4} {3} \sqrt[4]{15^3} [/tex]

Заклучок: g(x) конвергира следува и f(x) конвергира.

[Infernum]

По принцип има два основни вида несобствени интеграли. Едните са тези, при които интеграционният интервал е краен, но подинтегралната функция клони към безкрайност, за някоя от границите на интервала, а другите са такива, при които интеграционният интервал е безкраен, но функцията е ограничена в него. Всики останали видове несобствени интеграли се свеждат до описаните по-горе два вида. Понеже понятието несобствен интеграл е обобщение на понятието определен интеграл, когато се интегрира една функция, ограничена и непрекъсната в краен интервал, определеният интеграл съществува и тогава от гледна точка на несобствените интеграли, въпросният интеграл е сходящ.
Точно такъв е случаят в примера, който си дал.
Имаш непрекъснатата функция [tex]\frac{\arctan x }{\sqrt[4]{x}}[/tex] в крайния интервал (0, 15).
Единствената подозрителна особена точка на тази функция е x = 0 , но тъй като [tex]\lim_{x \to 0}\frac{\arctan x }{\sqrt[4]{x}}=0[/tex] и функцията е непрекъсната, то тя е ограничена в целия интеграционен интервал.
Cледователно интегралът няма особености и не е несобствен.
Разбира се, aкo погледнеш на този интеграл, като на несобствен, това означава, че той е сходящ.