Определяне вида на триъгълника

[Nona]

Ако някой скучае, ето една задачка:

Да се докаже, че един триъгълник е остроъгълен, правоъгълен или тъпоъгълен в зависимост от това, дали неговият полупериметър е съответно по-голям, равен или по-малък от сбора на диаметъра на описаната и радиуса на вписаната окръжност.

Приятно решаване!

[Реклама]

[Nona]

Жокер:

Докажете, че

[tex]p^2-( 2R+r )^2 = 4R^2 \cos \alpha . \cos \beta .\cos \gamma .[/tex]

[xyz]

Тази втората задача вече е интересна (всъщност първато може би може да се реши и по друг по-лесен, но и по по-скучен начин).

Ще преобразуваме първо дясната страна. Описваме окръжност и нека CM е диаметър. Тогава, тъй като ъглите се "пренасят", то вече имаме правоъгълни триъгълници от които намираме два от косинусите:
[tex]cos\,\alpha=BM/MC=BM/2R[/tex]
[tex]cos\,\beta=AM/MC=AM/2R[/tex]
Така преобразуваме дясната страна:
[tex]N:=4R^2.cos\,\alpha.cos\,\beta.cos\,\gamma=AM.BM.cos\,\gamma=AM.BM.cos(\pi-\angle AMB)=-AM.BM.cos\,\angle AMB[/tex]
Прилагаме косинусова теорема и така:
[tex]N={1 \over 2}(AB^2-AM^2-BM^2)[/tex]
[tex]N={1 \over 2}(AB^2-(MC^2-AC^2)-(MB^2-BC^2))={1 \over 2}(a^2+b^2+c^2)-4R^2[/tex]
Нека
[tex]q:=ab+bc+ca[/tex]
и
[tex]s:=abc[/tex]
Ще запишем с тези променливи дясната страна:
(1) [tex]N={1 \over 2}((a+b+c)^2-2(ab+bc+ca))-4R^2=2p^2-q-4R^2[/tex]
където естествено p е полупериметъра.

Преобразувайки хероновата формула намираме:
[tex]S^2=p(pq-s-p^3)[/tex]

Известно е:
[tex]r={S \over p}[/tex]
От друга страна от
[tex]R={abc \over 4S}[/tex] (следва от синусова теорема)
намираме, че:
(')[tex]Rr={abc \over 4p}={s \over 4p}[/tex]

Да изчислим r²:
[tex]r^2={S^2 \over p^2}[/tex]
тук S^2 ще заместим с вече намерения израз, т.е. намираме:
(")[tex]r^2={pq-s-p^3 \over p}[/tex].

Ще използваме получените изрази (') и ("), за да преобразуваме и лявата страна:
[tex]p^2-(2R+r)^2=p^2-r^2-4Rr-4R^2=[/tex]
[tex]=p^2-r^2-4Rr-4R^2=[/tex]
(2) [tex]=p^2-(pq-s-p^3)/p-s/p -4R^2[/tex]

Проверката, че лявата (1) и дясната (2) страни на проверявания израз са равни се проверява директно. На практика, веднага се съкращава [tex]-4R^2[/tex], и трябва да проверим израз само за p,q,s (това се може да се провери и на ум).

-------------------------

За пълнота на решението, ще дадем преобразуването на Хероновата формула. За удобство използваме D:=a^2+b^2+c^2.

S^2=p(p-a)(p-b)(p-c)=
={1 \over 16}(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)=
={1 \over 16}((a+b)^2-c^2)(c^2-(a-b)^2)=
={1 \over 16}(a^2+b^2+c^2-2c^2+2ab)(-c^2-a^2-b^2+2c^2+2ab)=
={1 \over 16}((D-2c^2+2ab)(2c^2+2ab-D))=
={1 \over 16}(+2c^2.D-4c^4+4abc^2+2ab.D-4abc^2+4a^2b^2-D^2+4c^2.D-2ab.D)=
={1 \over 16}(-4c^4+4c^2.D+4a^2b^2-D^2)=
={1 \over 16}(-4c^4 +4c^2a^2+4c^2b^2+4c^2c^2 +4a^2b^2-D^2)=
={1 \over 16}(4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)-(a^2+b^2+c^2)^2)=
={1 \over 16}(4((ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c))-((a+b+c)^2-2(ab+bc+ca))^2)=
={1 \over 16}(4(ab+bc+ca)^2-8abc(a+b+c)-(a+b+c)^4-4(ab+bc+ca)^2+4(a+b+c)^2(ab+bc+ca))=
={1 \over 16}(4(a+b+c)^2(ab+bc+ca)-8abc(a+b+c)-(a+b+c)^4)=
={1 \over 16}(16.p^2.q-16.s.p-16.p^4)=
=(p^2.q-s.p-p^4)=p(pq-s-p^3)

[Nona]

Друг начин е да използваме лемата

[tex]a^2+b^2+c^2=2p^2-8Rr-2r^2,[/tex]

при което задачата се свежда до доказване на тригонометричното тъждество

[tex]\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma=2+2\cos\alpha.\cos\beta.\cos\gamma[/tex].

[xyz]

[Nona]