Функция

[zhivo_zad]

Проблема ми е да докажа ,че лицето на тр.АBC е по-малко от 6.

[Реклама]

[Infernum]

Нека x₁ и x₂ са корените на производната
f'(x)=3x²-4ax+3a, като x₁ < x₂.
От формулите на Виет имаш
x₁ + x₂ = 4а/3
x₁ x₂ = а
Спрямо равнинна декартова кординатна система Oxy, лицето на триъгълника ABC може да се изрази, като разлика от лицата на описания около ABC правоъгълник, със страни x₂, f(x₁), разположени съответно по координатните оси x и y, и лицата на всички триъгълници, допълващи ABC до правоъгълника. Направи си чертеж!
Тогава за лицето на ABC имаш:

[tex]S=x_2f(x_1)-\frac{x_1f(x_1)}{2}-\frac{x_2f(x_2)}{2}-\frac{(f(x_1)-f(x_2))(x_2-x_1)}{2}=\frac{x_2f(x_1)-x_1f(x_2)}{2}=[/tex]

[tex]=\frac{x_2x_1(x_1^2-2ax_1+3a)-x_1x_2(x_2^2-2ax_2+3a)}{2}=\frac{a(x_1^2-x_2^2)-2a^2(x_1-x_2)}{2}=\frac{1}{3}a^2(x_2-x_1)=[/tex]

[tex]=\frac{1}{3}a^2\sqrt{(x_2-x_1)^2}=\frac{1}{3}a^2\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{2}{9}a^2\sqrt{4a^2-9a}[/tex]

И така лицето на ABC е

[tex]S(a)=\frac{2}{9}a^2\sqrt{4a^2-9a}[/tex]

Последната функция е монотонно растяща в интервала [tex]\frac{9}{4}<a<3[/tex], тъй като

[tex]S'(a)=\frac{a^2}{9}\frac{24a-45}{\sqrt{4a^2-9a}}>0[/tex],

за всяко а от този интервал.

Тогава [tex]S(a)<S(3)=6[/tex]