сходимост на ред

[vladob]

Ако

а) a_n= a₁+(n-1)d е аритметична прогресия

б) a_n= a₁ q ^n-1 е геометрична прогресия

Изследвайте сходимостта на безкрайния ред

[tex]\sum_{n=1}^{\infty } \frac{1}{ a_{n}}[/tex]

[Реклама]

[Infernum]

При а₁≠0, q≠0, pедът
[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_1q^{n-1}}=\frac{1}{a_1}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{q^{n-1}}[/tex] е геометричен и следователно е сходящ, ако |q|>1 и разходящ, ако |q|≤1.

[Infernum]

При а₁≠0, d≠0, може да се запише

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_1+(n-1)d}=\frac{1}{a_1}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_1+nd}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{d}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\frac{a_1}{d}+n}[/tex]

така изследването на сходимостта на изходния ред се свежда до изследването на сходимостта на реда

[tex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\frac{a_1}{d}+n}[/tex]


Последният ред е разходящ, тъй като за произволно n, от известно място нататък, е изпълнено

[tex]\frac{1}{\frac{a_1}{d}+n}\ge \frac{1}{2n}[/tex],

и следователно

[tex]\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\le \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\frac{a_1}{d}+n}[/tex]