Някои по-сложни интеграли

[vladob]

[tex]\int_{}^{ } \frac{5x^2+4x+12}{ \sqrt{(2x^2+7x+3)^3}}dx[/tex]

[tex]\int_{}^{ } \frac {1+x^2}{x^4+3x^3+3x^2-3x+1 } dx[/tex]

[tex]\int_{}^{ } \frac{x^3+x}{ 3x^6-6x^4+6x^2+30x^3-3}dx[/tex]

[Реклама]

[vladob]

Вториот и третиот успеав да ги решам. Не биле толку тешки. И двата се слични.
Горниот дел го пишуваме во форма [tex]1+\frac{1}{ x^2} [/tex] а долниот како полином со член [tex]x-\frac{1}{ x} [/tex]. Потоа со замена [tex]t=x-\frac{1}{ x} [/tex]
се сведуваат на лесни интеграли.

[Infernum]

Упътване:

[tex]\int_{}\frac{5x^2+4x+12}{\sqrt{(2x^2+7x+3)^3}}dx=\frac{5}{2}\int_{}\frac{dx}{\sqrt{2x^2+7x+3}}+\frac{9}{2}\int_{}\frac{dx}{(2x+1)\sqrt{(2x^2+7x+3)}}-9\int_{}\frac{dx}{(x+3)\sqrt{(2x^2+7x+3)}}[/tex]

В първия, втория и третия интеграл се извършват съответно смените

[tex]\sqrt{(2x^2+7x+3)}=\sqrt{2}(p+x)[/tex]

[tex]\frac{1}{2x+1}=q[/tex]

[tex]\frac{1}{x+3}=r[/tex]

Тогава

[tex]\int_{}\frac{5x^2+4x+12}{\sqrt{(2x^2+7x+3)^3}}dx=\frac{5}{2}2\sqrt{2}\int_{}\frac{dp}{7-4p}-\frac{9}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\int_{}\frac{dq}{\sqrt{5q+1}}+9\int_{}\frac{dr}{\sqrt{2-5r}}[/tex]

[vladob]

Доделувам глас и едно големо благодарам за Infernum.

P.S Кога го гледаш решението не изгледа сложено, но навистина е уметност да се сетиш на се она што води до вистинскиот резултат.

[ins-]

Извинявам се, но не мога да разбера идеята за интегралите с номера 2 и 3. Може ли някой да поясни каква точно е идеята. Ако искате после мога да Ви покажа как стават 3 интеграла от моята колекция. Мисля, че те по нищо не отстъпват на предложените тук.
1. [tex]\int \frac{x^{3}-x-1}{\sqrt{x^{2}+2x+3}}\,dx[/tex]
2. [tex]\int \frac{x^{4}+4x^{2}-1}{2x^{6}-3x^{4}+4x^{2}+1}\,dx[/tex]
3. [tex]\int \frac {3x^{4} + 12x^{3} + 6}{x^{5} + 5x^{4} + 16x + 12}\,dx[/tex]
Надявам се да Ви харесат .
P.S. Интересно ми е, откъде може да се се изтрие второто ми мнение - въведох го по погрешка.

[ins-]

...

[vladob]

[tex]\int \frac{x^{3}-x-1}{\sqrt{x^{2}+2x+3}}\,dx = (Ax^2+Bx+C)\sqrt{x^2+2x+3}+ \lambda \int_{}^{ } \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+3} } [/tex]

[tex]\frac{x^{3}-x-1}{\sqrt{x^{2}+2x+3}} = (2Ax+B)\sqrt{x^2+2x+3}+ \frac{{(Ax^2+Bx+C) (x+1)}} {\sqrt{x^2+2x+3}} +\lambda \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+3} } [/tex]

[tex]x^{3}-x-1 = (2Ax+B)(x^2+2x+3)+(Ax^2+Bx+C) (x+1) +\lambda [/tex]

Добиваме A=1/3; B=-5/6; C=-1/2; λ=1/3

[tex]I= (\frac{x^2}{3}-\frac{5x}{6}-\frac{1}{2})\sqrt{x^2+2x+3} + \frac{1}{3}\int_{}^{ } \frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2+\sqrt{2^2}}}=(\frac{x^2}{3}-\frac{5x}{6}-\frac{1}{2})\sqrt{x^2+2x+3} + \frac{1}{3}\ln|x+1+\sqrt{x^2+2x+3}|[/tex]

[vladob]

[Jorkata]

Може ли да напишеш по подробно за метода,който използваш при решаването на този интеграл или да ми препоръчаш литература.

[ins-]

Има и друго решение - http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=161567.
А се сещам и за трето - ... просто се разделя на три интеграла, отделя се точен квадрат от знаменателя и се полага това, което е точен квадрат и оттам - се решават ирационални интеграли чрез полагане.

[vladob]

[vladob]

За вториот интеграл имаме:

[tex] \frac {1+x^2}{x^4+3x^3+3x^2-3x+1 } = \frac {1+\frac{1}{x^2}}{x^2+3x+3-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2} } = \frac {1+\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}+3(x-\frac{1}{x}) +3 } = \frac {1+\frac{1}{x^2}}{(x-\frac{1}{x})^2+3(x-\frac{1}{x}) +5 }[/tex]

Со смена [tex]x-\frac{1}{x}=t \ , \ 1+\frac{1}{x^2}dx=dt [/tex]
Добиваме

[tex] I= \int_{}^{ } \frac{dt}{t^2+3t+5}=\int_{}^{ } \frac{dt}{(t+ \frac{3}{2})^2+(\frac{\ \sqrt{11} }{2})^2}= \frac{2 \sqrt{11}}{11} arctg \frac{2(x-\frac{1}{x})+3}{\sqrt{11}} +c[/tex]

Слично и за третиот:

[tex] \frac{x^3+x}{ 3x^6-6x^4+6x^2+30x^3-3} = \frac{1+\frac{1}{x^2}}{3(x-\frac{1}{x})((x-\frac{1}{x})^2+3)-6(x-\frac{1}{x})+30}[/tex]

[tex] I= \int_{}^{ } \frac{dt}{3t(t^2+3)-6t+30}= \frac{1}{3} \int_{}^{ } \frac{dt}{t^3+t+10}= \frac{1}{3} \int \frac{dt}{(t+2)(t^2-2t+5)}[/tex]

[tex] \frac{1}{(t+2)(t^2-2t+5)}= \frac{A}{t+2}+\frac{Bt+C}{t^2-2t+5}[/tex]

A=1/13,; B=-1/13; C=-4/13 .......... и така понатака!

[ins-]

Това вече е друго нещо. Решението на вторият мой интеграл е в прикачения файл. Малко е на руски, но той е сроден език. За третият е подобно, но се получава нещо с ln(...). Ще го оставя за упражнение. Интересно ми е дали може да се намери подобно полагане и за интеграли 2 и 3, които изпратих?!