задача

[zhivo_zad]

[Реклама]

[Spider Iovkov]

Мисля, че неравенството ще има решение, когато и квадратното уравнение f(x) има корени, равни или различни.

[Infernum]

Тъй като 1+|a|>0 за всяко а, неравенството f(x)<0 ще има решение, когато дискриминантата на квадратния тричлен е положителна. Това води до условието

[tex](a+3)^2-(1+|a|)(|a|-1)=(a+3)^2-(|a|^2-1)=a^2+6a+9-a^2+1=2(3a+5)>0[/tex]

или

[tex]a>-\frac{5}{3}.[/tex]

Решението на неравенството f(x)<0, ще бъде интервал с максимална дължна, когато разстоянието между корените x₁ < x₂ на f(x) = 0 е най-голямо.
За разстоянието между тези два корена имаш

[tex]x_2-x_1=\sqrt{(x_2-x_1)^2}=\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{\frac{4(a+3)^2}{(1+|a|)^2}-\frac{4(|a|-1)}{1+|a|}}=\frac{2\sqrt{2}}{1+|a|}\sqrt{3a+5}[/tex]

Нека сега за [tex]a>-\frac{5}{3}[/tex],

[tex]\rho(a)=\frac{2\sqrt{2}}{1+|a|}\sqrt{3a+5}[/tex]

е разстоянието между корените.

При

[tex]a \in (-\frac{5}{3}, 0)[/tex]

[tex]\rho(a)=\frac{2\sqrt{2}}{1-a}\sqrt{3a+5}[/tex]

[tex]\rho'(a)=\sqrt{2}\frac{3a+13}{(1-a)^2}\sqrt{3a+5}>0[/tex]

за всяко а от този интервал. Следователно

[tex]\rho(a)<\rho(0)=2\sqrt{10}.[/tex]

При

[tex]a > 0[/tex]

[tex]\rho(a)=\frac{2\sqrt{2}}{1+a}\sqrt{3a+5}[/tex]

[tex]\rho'(a)=-\sqrt{2}\frac{3a+7}{(1+a)^2}\sqrt{3a+5}<0[/tex]

за всяко а>0. Следователно

[tex]\rho(a)<\rho(0)=2\sqrt{10}[/tex]

и така, търсената стойност на параметъра е а=0.

[tex]\lim_{a \rightarrow \infty}x_2-x_1=\lim_{a \rightarrow \infty}\frac{2\sqrt{2}}{1+a}\sqrt{3a+5}=0[/tex]