Задачка с триъгълник, вписан в окръжност

[EXVITERMINI]

Здравейте! Ето и условието:
лицето на триъгълник е 84 см^2. Най-малката страна е 13см. , а радиусът на описаната окръжност е 8,125см. Да се намерят другите две страни на триъгълника.

Задачата не ми изглежда сложна и въпреки това ме затруднява - явно изпускам нещо.
Благодаря предварително на съдействалите !

[Реклама]

[Tony_89]

Нека c да е най-малката страна.

c/sin(γ) = 2R

13/sin(γ) = 16,25 = 65/4

sin(γ) = 4/5

cos(γ) = 3/5

c² = a² + b² - 2*a*b*cos(γ)

169 = a² + b² - 6*a*b/5 /*5

5*a² + 5*b² - 6*a*b = 845

S_ABC = a*b*sin(γ)/2

168 = a*b*4/5

a*b = 210

5*a² + 5*b² - 6*a*b = 845

5*(a - b)² + 4*a*b = 845

(a - b)² = 1

|a - b = 1
|a*b = 210

U

|b - a = 1
|a*b = 210

|a = 15
|b = 14

U

|a = 14
|b = 15

[xyz]

Ето ти и едно доста по-директно решение (използва се единствено Питагоровата теорема), макар и доста повече сметки. Виж първо чертажа - на него са дадени известната по дължина страна, заедно с центъра на описаната окръжност. По условие имеме:
. c=13
. R=8,125=5.13/8
. h=2S/c=2.84/13=8.21/13
Следващата ни стъпка е да определим d и m:
. d²=R²-(c/2)²=(25/64).13²-(1/4).13²
. d²=((25-16)/64).13²
. d=3.13/8
. m²=R²-(h-d)²=(5.13/8)²-(8.21/13-3.13/8)²
. m²=(845²-837²)/(13.8)²=8.1682/(13.8)²=(4.29/(13.8))²
. m=29/(2.13)
Вече сме в състояние да намерим и самите страни (означени на чертажа с жълто и светло синьо):
. a²=(c/2-m)²+h²=(13/2-29/(2.13))²+(8.21/13)²=
. (2.5.7)²/13²+(8.3.7)²/13²=(25+12²)(14/13)²=14²
. b²=(c/2+m)²+h²=(13/2+29/(2.13))²+(8.21/13)²=
. (9.11)²/13²+(8.3.7)²/13²=(33²+56²)(3/13)²=15²

[EXVITERMINI]

Благодаря и на двама ви за отговорите. Това са задачи от лятната ми работа за курса по математика от материал праовъгълен триъглник. Като цяло нямам сериозни проблеми с тях, освен на някои места .