Произведение на ъгли

Pinetop Smith

JusTok преди време беше пуснал тази задача:

Реклама

uktc · Пуснато на: Wed Aug 22, 2007 4:07 pm Заглавие:

Използвай неравенството на Коши за 3 величини. Вярвам, че и сам ще се справиш Wink

Pinetop Smith · Пуснато на: Wed Aug 22, 2007 5:35 pm Заглавие:

Fed · Пуснато на: Wed Aug 22, 2007 5:45 pm Заглавие:

за 3 положителни числа:

(а+b+c)/3 ≥ ³√(a.b.c)

като равенство има за a=b=c,

т.е. произведението a.b.c е най-голямо при a=b=c=60°, т.е. равностранен ▲

Pinetop Smith · Пуснато на: Wed Aug 22, 2007 6:01 pm Заглавие:

Благодаря. Сега се сетих, че това са неравенствата между средно аритметично, геометрично, хармонично и квадратично.

Темата е приключена.

Grands · Пуснато на: Wed Aug 22, 2007 6:03 pm Заглавие:

Fed, един въпрос. Защо най-голямата стойност на произведението a.b.c да се определя от това неравенство. Ясно, че то е валидно за страните на триъгълник, но може да има друга по-голяма стойност.

Fed · Пуснато на: Wed Aug 22, 2007 7:17 pm Заглавие:

Значи с a,b и c съм означил ъглите на тр. Те са положителни числа. Следователно можем да използваме Коши за 3 числа (представляващи 3те ъгъла)=>

(a+b+c)/3 ≥ ³√a.b.c

(a+b+c)³/27 ≥ a.b.c

Oттук следва че най-голямата с-ст на a.b.c е (a+b+c)³/27 и тя се достига при а=b=c, тъй като по дефиниция равенство при Коши се достига при равенство на участващите числа.

Всъщност Коши е валиден при всички положителни числа (даже май по-точно - неотрицателни). В случая го използваме защото ние знаем че трите ъгъла са положителни. Забелязваме че използването му ще доведе до резултат, защото по дефиниция от Коши имаме (средно аритм. на n числа) ≥ (корен n-ти от произведението им), т.е. е намесена най-гол. с-ст на (корен n-ти от произведението им) или ³√a.b.c.

Ako съм разбрал правилно въпроса ти това трябва да е отговора. Ако все още нещо не е ясно питай. Wink