Регистрирайте сеРегистрирайте се

Търси се периметър


 
   Форум за математика Форуми -> Синусова и косинусова теореми
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Grands
Редовен


Регистриран на: 31 Mar 2007
Мнения: 240

Репутация: 28.2Репутация: 28.2Репутация: 28.2
гласове: 5

МнениеПуснато на: Mon Aug 20, 2007 1:58 pm    Заглавие: Търси се периметър

Хипотенузата на правоъгълен триъгълник има дължина 1, а медицентърът му лежи на вписаната окръжност. Да се намери периметърът на триъгълника.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Nona
Напреднал


Регистриран на: 12 Sep 2006
Мнения: 477

Репутация: 234.7
гласове: 163

МнениеПуснато на: Tue Aug 21, 2007 1:03 am    Заглавие:

Шансът да съм объркала пресмятанията е повече от огромен, защото много ми се спи, но мисля, че поне начинът е верен.

Edit: но явно и той не е Embarassed Embarassed Embarassed
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Grands
Редовен


Регистриран на: 31 Mar 2007
Мнения: 240

Репутация: 28.2Репутация: 28.2Репутация: 28.2
гласове: 5

МнениеПуснато на: Tue Aug 21, 2007 7:36 am    Заглавие:

Браво, Magi, ти си велика. Въпреки, че не се поучава отговора в сборника (4/√3), и на мен ми се струва верен метода.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Fed
VIP


Регистриран на: 24 May 2007
Мнения: 1136
Местожителство: София (Русе)
Репутация: 113.3
гласове: 33

МнениеПуснато на: Tue Aug 21, 2007 7:47 am    Заглавие:

Grands, знаеш ли, сякаш видях грешка, но може и да бъркам, тъй като в момента просто не мога да мисля за математика... Rolling Eyes

Маги е написала на първия си ред: MD2 = MG.MC; това не е с-во на секущите, а ако Маги не е имала предвид него просто не виждам от къде може да идва...

Извинявайте, ако бъркам...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
DevilFighter
Фен на форума


Регистриран на: 30 Jan 2007
Мнения: 507
Местожителство: Пазарджик
Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49
гласове: 5

МнениеПуснато на: Tue Aug 21, 2007 9:57 am    Заглавие:

Да, наистина има грешка Magi.




pravoyg.tr.`grands.gif
 Description:
 Големина на файла:  9.36 KB
 Видяна:  3211 пъти(s)

pravoyg.tr.`grands.gif


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Fed
VIP


Регистриран на: 24 May 2007
Мнения: 1136
Местожителство: София (Русе)
Репутация: 113.3
гласове: 33

МнениеПуснато на: Tue Aug 21, 2007 10:40 am    Заглавие:

Браво! Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
xyz
Напреднал


Регистриран на: 20 May 2007
Мнения: 319

Репутация: 41.2Репутация: 41.2Репутация: 41.2Репутация: 41.2
гласове: 12

МнениеПуснато на: Tue Aug 21, 2007 12:43 pm    Заглавие:

След дълги изчисления (т.е. все получавайки грешки) успях да завърша доказателството и по начин, изискващ съвсем малко геометрия. Основното наблюдение е, че катетите CA и CB правят една наистина перфектна координатна система. Да изчислим координатите на медицентъра G (нека M е средата на хипотенузата, като на чертежа по-горе):
--- G: xG:="координата по CA"="разстояние от G до CB"= 2/3 "разстояние от M до CB" = 2/3 1/2 "разстояние от A до CB"= 1/3 a.
--- аналогично: yG = 1/3 b.
За центъра на вписаната окръжност I нещата са още по прости:
--- xI = r.
--- yI = r.
Където r е радиуса на вписаната окръжност. Естествено е да го изчислим. За целта използваме формулата S=P/2.r, където P е периметъра. Така:
--- r=ab/P
С питагоровата теорема намираме GI2, което по условие е r2:
--- GI2=(xG-xI)2+(yG-yI)2=(1/3a-r)2+(1/3b-r)2=r2
Другото уравнение, което ни трябва, се получава вдигайки периметъра в квадрат:
--- P2=(a+b+1)2=a2+b2+1+2ab+2(a+b)=2P+2ab
откъдето използвайки и израза за r намираме:
--- r=ab/P=P/2-1
Така опростяваме израза за GI2 (при преобразуванията използваме, че a2+b2=1, както вече направихме по-горе) намираме:
--- 1/9(a2+b2)-2.r.(1/3)(P-1)+2r2=r2
--- 1/9-(2/3)(P/2-1)(P-1)+(P/2-1)2=0
--- 1/9-(2/3)((1/2)P2 -(3/2)P +1) +((1/4)P2-P+1)=0
--- 1/9-(1/3)P2-(2/3)+(1/4)P2+1=0
--- ((1/4)-(1/3))P2=(2/3)-1-1/9=-(4/9)
--- (1/12)P2=(4/9)
[tex]P={4 \over \sqrt{3}}[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Nona
Напреднал


Регистриран на: 12 Sep 2006
Мнения: 477

Репутация: 234.7
гласове: 163

МнениеПуснато на: Tue Aug 21, 2007 2:04 pm    Заглавие:

За всеки триъгълник разстоянието между медицентъра и центъра на вписаната окръжност се изразява с формулата:

[tex]GI^2=\frac29\left(a^2+b^2+c^2\right)+r^2-\frac13p^2[/tex]



zada4a.gif
 Description:
 Големина на файла:  2.18 KB
 Видяна:  3173 пъти(s)

zada4a.gif


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Grands
Редовен


Регистриран на: 31 Mar 2007
Мнения: 240

Репутация: 28.2Репутация: 28.2Репутация: 28.2
гласове: 5

МнениеПуснато на: Tue Aug 21, 2007 2:17 pm    Заглавие:

Ако имате жълтия сборник по геометрия на Коста Коларов, това е задача номер 19.54. Имал съм я като задача от седмично домашно, която просто не излизаше. Вие успявате да я решите по три различни начина. Възхищавам ви се. Маги, това формула ли е, тъй като такива си ги събирам.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Nona
Напреднал


Регистриран на: 12 Sep 2006
Мнения: 477

Репутация: 234.7
гласове: 163

МнениеПуснато на: Tue Aug 21, 2007 2:29 pm    Заглавие:

Да. Ето доказателство:


Leibnic.gif
 Description:
 Големина на файла:  11.38 KB
 Видяна:  3156 пъти(s)

Leibnic.gif


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
DevilFighter
Фен на форума


Регистриран на: 30 Jan 2007
Мнения: 507
Местожителство: Пазарджик
Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49
гласове: 5

МнениеПуснато на: Tue Aug 21, 2007 2:33 pm    Заглавие:

Наистина имаше такава теорема на Лайбниц (за която хич не ми беше минавало през ум). Учи се в 10-ти клас и май в учебника имаше и доказателството на тази теорема. Magi, добро решение, но малко хора биха се сетили да използват теоремата... Rolling Eyes
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Fed
VIP


Регистриран на: 24 May 2007
Мнения: 1136
Местожителство: София (Русе)
Репутация: 113.3
гласове: 33

МнениеПуснато на: Tue Aug 21, 2007 3:15 pm    Заглавие:

Magi няма равна... Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Синусова и косинусова теореми Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.