Помогнета на тъпака!

[valerimart]

Здравейте!
Нещо не се справям от много време с една задачка и реших да попитам знаещите.
Дано някой помогне!

Значи:
Имаме уравнението:

X*Y=K, където К е константа, положително число, различно от нула

В първи квадрант имаме точка с координати (X0, Y0), като X0≥0 и Y0≥0.

Как да намеря точката от хипоерболата X*Y=K, която е най-близо до точката с координати
(X0, Y0)???

Това нещо ме убивааа! Сигурно съм мноо тъп!


*Fed: Поставяй подходящи заглавия на темите, които пускаш! Не използвай думи като "помощ" и нейните синоними и/или производни!!!

[Реклама]

[Oil_Tevs]

Решението ми е малко странно, но не ми идва друга идея.
Уравнението X*Y=K може да се напише по следният начин: Y=K\X
Като начертаем графиката Y=K\X тя ще изглежда нещо такова:

Нека A е търсената точка с координати Xo и Yo

Можем да представим графиката на Y=K\X(червеното) като част от окръжност, която е равноотдалечена от правите x и y, следователно центърът и ще лежи някъде върху ъглополовящата на ъгъл xOy.И ако впишем в нея друга окръжност с център A, то допирната им точка е най-близо до А(или това, което се търси).
И понеже знаем, че център,център и допирна точка лежат на 1 права, достатъчно е да свържем А с центъра на голямата окръжност и тази права ще пресече графиката в търсената точка.

Но понеже центъра на голямата окръжност лежи някъде в безкрая върхи ъглополовящата на 1ви квадрант, то правата свързваща центровете на окръжностите ще се яви успоредна на тази ъглополовяща.

Или накратко през А прекарваме права успоредна на ъглополовящата на 1ви квадрант и намираме търсената точка.

P.S. Разбира се може някъде да греша, но друго не ми идва на главата.

[maia]

Ако т. М(х₁;у₁) е търсената точка, то допирателната към кривата в тази точка е перпендикулярна на правата през двете точки. От уравненията на допирателната и перпендикулярната права намираме пресечната точка.

[Oil_Tevs]

Права си. Аз къде се увлякох

[valerimart]

Да, обаче как се намира центъра на окръжността, която имитира хиперболата....тя не е в безкрайността. Т.е. Правата, която свързва центровете на свете окръжности не е перпендикулярна на правата Y=X....

Освен алгебрично от система уравнения:
Ако X0, Y0 e дадена точка, и имаме уравнението на хиперболата X*Y=K (const)
То имаме система уравнения:
X*Y=k
(X-X0)²+(Y-Y0)²=r²

Където търсим r=min. Това се изпълнява, ако системата има само едно решение.
За простота, нека X0, Y0, X, Y са по-големи от нула.

[Oil_Tevs]

Отказвам се изцяло от първоначалното си решение. valerimart ти всъщност си я решил.
Като заместиш Y ot X*Y=k получаваш (X-X0)²+(Y-k\X )² =r² и както каза ти й търсим минимума.Тоест търсим минимума на f(X) = (X-X0)²+(Y-k\X )² .Пробвах с производни, но нищто не се получи, затова използвах неравенството: а² + b² ≥ 2ab , тоест
f(X) ≥ 2(X-X0)(Y-k\X ). Следователно f(X) ще има минимум при равенство, тоест при
(X-X0)=(Y-k\X ). От тук се получава квадратно уравнение, където взависимост от това дали X ти е положително или отрицателно излиза 1 решение.
PS: Ако някой има по - добро решение нека го каже защото може пак да съм се оплескал.
PS2: maia сигурна ли си, че графиката на X*Y=k и окръжността имат обща допирателна?

[valerimart]

Обаче като решавам уравнението ми се получават пълни бози. Не мога да реша уравнението!!! Някой достатъчно способен ли е да го реши?

[valerimart]

Извинявам се на Fed. Няма да се повтори да пиша по този начин! Благодаря за уместната забележка!!!!

[Fed]

[Oil_Tevs]

Редактирах си мнението виж го ако искаш

[valerimart]

Решавайки уравнението, получавам следното:

(X-X0)²+(K/X-Y0)²=r² (min) =>
(X-X0)²+(K/X-Y0)²=r²\ge 2*(X-X0)(k/x-Y0)
т.е.

(X-X0-K/X+Y0)²=0

Така:
X=[(X0-Y0)\pm √(Y0-X0)²+4k]/2

Понеже търсим само положителни числа, то:

X=[(X0-Y0)+\sqrt{(Y0-X0)²+4k} ]/2

Обаче, май това въобще не е вярното решение....

[valerimart]

А! Комай е вярното