интеграл по повърхнина

[mantarov]

Пресметнете интеграла

[tex]\int_{}\int_{S}xzdydz+x^2ydxdz+y^2zdxdy[/tex]

по външната страна на повърхнината S, лежащa в първи октант, съставена от параболоида

z = x² + y²,

цилиндъра

x² + y² = 1

и координатните равнини.

[Реклама]

[Infernum]

Даденият повърхнинен интеграл може да се сметне с помощта на формулата на Гаус-Остроградски.
Според нея

[tex]\int_{}\int_{S}xzdydz+x^2ydxdz+y^2zdxdy=\int_{}\int_{}\int_{V}z+x^2+y^2dxdydz[/tex]

тъй като интегрирането е по външната страна на S.
В случая V е областта ограничена от повърхнините

[tex]z=x^2+y^2[/tex]
[tex]x^2+y^2=1[/tex]
[tex]x=0[/tex]
[tex]y = 0[/tex]
[tex]z=0[/tex]

спрямо фиксирана декартова координатна система [tex]Oxyz[/tex].

Извършвайки в получения троен интеграл смяна на променливите съгласно формулите

[tex]x=x(r,t,u)=r cos t[/tex]
[tex]y=y(r,t,u)=r sin t[/tex]
[tex]z=z(r,t,u)=u[/tex]

областта V се описва в цилиндрични координати посредством системата неравенства:

[tex]0\le r\le 1[/tex]
[tex]0\le t\le \frac{\pi}{2}[/tex]
[tex]0\le u\le r^2[/tex]

за обемният елемент имаш

[tex]dxdydz=|J|drdtdu[/tex]

където J е якобиянът на смяната в цилиндрични координати

[tex]J=det{\begin{\frac{\partial x}{\partial r} \ \frac{\partial x}{\partial t} \ \frac{\partial x}{\partial u} \\ \frac{\partial y}{\partial r} \ \frac{\partial y}{\partial t} \ \frac{\partial y}{\partial u} \\ \frac{\partial z}{\partial r} \ \frac{\partial z}{\partial t} \ \frac{\partial z}{\partial u}}}=r[/tex] (докажете).

Тогава

[tex]dxdydz=|r|drdtdu[/tex]

и

[tex]\int_{}\int_{S}xzdydz+x^2ydxdz+y^2zdxdy=\int_{}\int_{}\int_{V}z+x^2+y^2dxdydz=\int_{0}^{1} \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\int_{0}^{r^2}(u +r^2 cos^2t+r^2sin^2t)rdudtdr=[/tex]

[tex]=\int_{0}^{1} \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\int_{0}^{r^2}ur +r^3dudtdr=\int_{0}^{1} \int_{0}^{\frac{\pi }{2}}r\frac{u^2}{2}|_0^{r^2} +r^3u|_0^{r^2}dtdr=\frac{\pi }{2}\int_{0}^{1}\frac{r^5}{2} +r^5dr =\frac{3\pi}{4}\int_{0}^{1}r^5dr=\frac{\pi }{8}[/tex]

[mantarov]

Много благодаря за подробното решение. Сега искам помощ за още един интеграл.

Намерете лицето на частта от сферата x²+y²+z²=a², изрязана от цилиндъра (x²+y²)²=a²(x²-y²).

[xyz]

На мен горното решение не ми беше особено подробно, т.е. не разбрах как се използва формулата на Гаус-Остроградски. Ще може да помоля за изясняване и на този проблем.

[Infernum]

Ето по-подробничко.

[tex]\int_{}\int_{S}xzdydz+x^2ydxdz+y^2zdxdy=\int_{}\int_{}\int_{V}\frac{\partial(xz)}{\partial x}+\frac{\partial(x^2y)}{\partial y}+\frac{\partial(y^2z)}{\partial z}dxdydz=\int_{}\int_{}\int_{V}z+x^2+y^2dxdydz[/tex]

[Infernum]