Правоъгълници

[zaqwerewq]

Намерете всички правоъгълници,които може да бъдат разрязани на 13 еднакви квадрата.
Колко са правоъгълниците

[Реклама]

[Pinetop Smith]

Нека правоъгълникът е ABCD, AB и CD - дължини, BC и AD - ширина.

Първо на първо, ясно е, че ако отношението на страните е 1:13(да го означим с а), то правоъгълникът може да бъде разрязан на еднакви квадратчета.

По-нататък, нека а≠1:13, тогава върху ширината АD нанасяме точка К така, че АК:DK ≠ 1. През К построяваме успоредна на дължините права, която пресича BC в Р.

Сега имаме две възможности.

Първо, КР да се дели на КА без остатък.

Нека резултатът от това деление да е t, тогава ако t ≥ 13 , условието на задачата не е изпълнено, защото се иска целият правоъгълник да го нарежем.

Нека 1 < t < 12. Тогава построяваме квадратчетата. Нека те са AT₂K₂K, T₁T₂K₂T₁... Т_tBPK_t. Нека АК = х, тогава всички квадратчета трбява да са със страна х. През точките К_1,2...t построяваме перпендикулярни на дължината прави.

Сега, ако t е четно число, то новополоучените четириъгълници не се квадрати, защото 13 не се дели на 2. Ако t е нечетно, то разглеждаме всички възможни варианти за броя на новополучените четириъгълници. Нека той е р.

Ако р = 3, то трите правоъгълника трябва да бъдат нарязани на 10 квадратчета със страна х. За КР < КА, това е невъзможно. В обратния случай това пак е невъзможно, защото 10 не се дели на 3.

Ако р = 5, тогава дължината на правоъгълника е 5х и трябва да нарежем КPCD на 6 квадрата със страна х, което не е възможно.

Ако р = 7, дължината е 7х и трябва да я нарежен ма 5 квадрата със страна х, което пак е невъзможно.

Аналогично разсъждаваме за р = 9 или 11.

Накрая, ако t = 12 и страната на всяко квадратче е х, то KPCD не е квадрат, защото 1≠12.

Второ, ако t e дроб, то правоъгълникът не може да се разреже.

Сега, нека AK = DK = x. Тогава всеки квадрат трябва да е със страна х, което е невъзможно, защото 13 не се дели на 2.

Получаваме като единствено решение отношението на страните да е 1:13.

Не съм много сигурен и може да имам грешки, ще съм благодарен, ако ме поправите. И все пак мисля, че е така.

[opalescence]

ами 2 на 26 , 3 на 39 4 на 52 и тн какво за тях

[soldier_vl]

1 на 13 е равно на 2 на 26 и на 3 на 39 и т.н.

[Methuselah]

Да намериш правоъгълник означава да намериш отношението на страните му.