Диференциални оператори rot и div

[laughing_puddle]

Някой знае ли геомертичния смисал на на диференциалните оператори div и rot?
Доколкото аз схващам,от съобствени съображения, rot представлява вектор който координатите му показват големината с която се "завърта" в дадена точка векторното поле по оста на съответната координата на вектора rot (която съвпада с оста на координатната система в която е дефинирано векторното поле).Под завъртане имам предвид че векторната линия на полето в дадена точка (от тримерното пространство) се закривява в една или друга посока (в зависимост дали знака пред координатата на вектора на ротацията е "+" или "-") в равнината перпендикулярна на оста на съответната координата на вектора на ротацията.
Ами за дивергенция div.Геометричен смисъл?Само знам че divergence на френски значи разпръскване...
Във всяка книга за векторен анализ можеш да прочетеш че grad е вектор който геометрично показва посоката на нарастване на полето, което не е чак толкова трудно да се съобрази ама за rot и div нищо досега не съм открил.Във всички учебници се едно и също пише, винаги е така.Все едно един от друг са преписвали.Писна ми да си блъскам главата за да разбера такива основни неща, като геометричен смисъл на div rot само защото авторите са пропуснали да ги споменат в учебниците им..А може би не се ровя в достатъчно дебелите книги...

[Реклама]

[Infernum]

Нека в областта [tex]\Omega \sub R^3[/tex] спрямо декартова координатна система Oxyz, определена от единичните базисни вектори i, j, k, е зададено непрекъснатото векторно поле

[tex]\vec{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i} + Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}[/tex]

за което се предполага , че съществуват и са непрекъснати частните производни

[tex]\frac{\partial P}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial y},\frac{\partial R}{\partial z},[/tex]

за всяка точка от областта [tex]\Omega.[/tex]

Нека [tex]M_0=(x_0,y_0,z_0) \in \Omega[/tex] e фиксирана точка.

Тогава дивергенция на векторното поле [tex]\vec{F}[/tex], в точката [tex]M_0[/tex], може да се дефинира по следния начин:

[tex]div\vec{F}=\lim_{V_0\rightarrow 0}\frac{\int_{}^{}\int_{S_0}^{}\vec{F}\vec{d\sigma}}{V_0}[/tex]

В този смисъл дивергенцията е скаларна величина, изразяваща границата на отношението между потока на вектора [tex]\vec{F}[/tex] през повърхнината [tex]S_0[/tex], и обема [tex]V_0[/tex] на областта [tex]\Omega_0 \sub \Omega[/tex], ограничена от [tex]S_0[/tex], когато [tex]V_0[/tex] клони към нула, но така, че точката [tex]M_0[/tex] постоянно да остава във вътешността на [tex]\Omega_0[/tex].
Прилагайки теоремата на Гаус за интеграла

[tex]\int_{}^{}\int_{S_0}^{}\vec{F}\vec{d\sigma}[/tex]

се получава

[tex]\int_{}^{}\int_{S_0}^{}\vec{F}\vec{d\sigma}=\int_{}\int_{}\int_{\Omega_0}\frac{\partial P(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial Q(x,y,z)}{\partial y}+\frac{\partial R(x,y,z)}{\partial z}dV[/tex]

Сега от теоремата за средните стойности при тройни интеграли се получава

[tex]\int_{}\int_{}\int_{\Omega_0}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}dV=(\frac{\partial P(\xi,\eta, \zeta)}{\partial x}+\frac{\partial Q(\xi,\eta, \zeta)}{\partial y}+\frac{\partial R(\xi,\eta, \zeta)}{\partial z})\int_{}\int_{}\int_{\Omega_0}dV=(\frac{\partial P(\xi,\eta, \zeta)}{\partial x}+\frac{\partial Q(\xi,\eta, \zeta)}{\partial y}+\frac{\partial R(\xi,\eta, \zeta)}{\partial z})V_0[/tex]

[tex](\xi,\eta,\zeta)\in \Omega_0[/tex]

Когато [tex]V_0[/tex] клони към нула, областта [tex]\Omega_0[/tex] се свива до точката [tex]M_0[/tex] (понеже по условие тя винаги е във вътрешността на тази област). Тъй като точката с координати [tex](\xi,\eta,\zeta)[/tex] е вътрешна за областта [tex]\Omega_0[/tex], то когато [tex]V_0 \rightarrow 0[/tex] клони към нула [tex](\xi,\eta,\zeta)\rightarrow (x_0,y_0,z_0)[/tex]. Като се вземе предвид и непрекъснатостта на частните производни, за дивегренцията се получава

[tex]div\vec{F}=\lim_{V_0\rightarrow 0} \frac{\int_{}\int_{S_0}\vec{F}\vec{d\sigma}}{V_0}=\lim_{V_0\rightarrow 0}\frac{1}{V_0} (\frac{\partial P(\xi,\eta, \zeta)}{\partial x}+\frac{\partial Q(\xi,\eta, \zeta)}{\partial y}+\frac{\partial R(\xi,\eta, \zeta)}{\partial z})V_0=\frac{\partial P(x_0,y_0, z_0)}{\partial x}+\frac{\partial Q(x_0,y_0, z_0)}{\partial y}+\frac{\partial R(x_0,y_0, z_0)}{\partial z}[/tex]

Иначе от геометрична гледна точка, дивергенцията на 1 вектор може да се разглежда като скаларно произведение на символичния псевдо вектор набла (оператор на Хамилтън) и векторa.

[Volen Siderov]

искам да използвам момента за още 1 основен въпрос.Свързан е с дефиницията на потенциала в напр. ел. поле.,по то4но с елементарната работа dA=\vec{F} d\vec{r}
Основнен момент тук е следния че \vec{r} d\vec{r} =rdr което следва от
\vec{r} =x\vec{i} +y\vec{j} +z\vec{k}
d\vec{r} =\delta /\delta x(\vec{r} )dx + 1.\vec{j} dy +1\vec{k}dz
\vec{r} d\vec{r} =xdx+ydy+zdz=1/2 dr^2=rdr
това от гледна точка на векторно произведение означава че векторите са колинеарни,което в общия случй не е така.Но пък и горното е вярно

[Volen Siderov]

никой ли не иска да ми отговори?Защо векторното произведение rdr винаги е равно на скаларното дори и в случая когато векторите не са успоредни ?!?Инфернум?

[martosss]

[Relinquishmentor]

Volen Siderov, няма такова нещо "елементарна работа", "dA = Fdr, "rdr = ?".
Първо това нещо "dr", написано така само, не значи нищо. Нито елементарно преместване, нито каквото и да било, както се опитват да ни убедят в учебниците по обща физика.
Та сега за работата.
Ако имаме една материална точка, която се движи в координатната система Oxy под въздействието на сила F, която си мени големината и посоката, може да се покаже, че е добре работата да се дефинира с криволинейния интеграл [tex]\int_{L}^{}P(x,y)dx + Q(x,y)dy [/tex], където L e описаната от материалната точка крива, а P и Q са проекциите на силата върху координатните оси, които в общия случай зависят и от двете координати x и y. Ако разгледаме потенциалното поле на силата на тежестта, то последната има кооpдинати само по y и интегралът се превръща в [tex]\int_{L}^{} Q(x,y)dy [/tex] или в частния случай, в който земното ускорение не зависи от височината, ще имаме само [tex]\int_{L}^{} -Gdy = -G\int_{L}^{}dy [/tex]. И сега задачата е да пресметнем криволинейния интеграл [tex]\int_{L}^{}dy[/tex]. Обаче, ако забележим, че:

[tex]\frac{\partial P(x,y)}{\partial y} = \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} = 0 [/tex]

, веднага ще получим, че интегралът не зависи от пътя на интегриране и следователно съществува функция [tex]U(x,y)[/tex] такава, че [tex]\int_{L}^{} -Gdy [/tex] = [tex]U(x_2,y_2) - U(x_1,y_1)[/tex], където [tex]x_2,y_2 [/tex] и [tex]x_1,y_1[/tex] са координатите на крайната и начална точка на преместването на материалната точка. Известно е, че тази функция удовлетворява следните условия:

[tex]\frac{\partial U(x,y)}{\partial x} = P(x,y) = 0[/tex]

[tex]\frac{\partial U(x,y)}{\partial y} = Q(x,y) = -G[/tex]

Тогава:

[tex]U(x,y) = \int_{}^{ } 0 dx + \varphi (y) = \varphi (y)[/tex]

[tex]\frac{\partial U(x,y)}{\partial y} = \frac{d\varphi (y)}{dy} = -G[/tex]

[tex]\varphi (y) = \int_{}^{ } -Gdy + C = -Gy + C \Rightarrow U(x,y) = -Gy [/tex]

И накрая получаваме:

[tex]A = [/tex][tex]\int_{L}^{} -Gdy = -(Gy_2 - Gy_1) = -(mgy_2 - mgy_1) = -mg(y_2 - y_1) = - \Delta U .[/tex]

За финал, ако имаме движение по затворена крива L, то извършената работа ще е:

[tex]A = \oint_{L}-Gdy = -(mgy - mgy) = 0[/tex]

[Volen Siderov]

Не съм съгласен с това че не съществуват dr и dA( в учебниците я пишат часна а не пълна производна и са си прави),обаче сега не ми се спори.Ти обаче избягваш от въпроса ми.Покажи как достигаш до дадената от теб дефиниция за работа,щото там ти неявно преминаваш от вектори към скаларни величини.

[Relinquishmentor]

Твърде е дълго за обясняване по форум. Виж в учебника на Дойчин Дойчинов "Математически анализ", глава 104 "Един пример от физиката", там е обяснено прекрасно (какъвто е и самия учебник).
Но аз и не знам за друга дефиниция на работата, освен като криволинеен интеграл върху описаната при движение крива. В частен случай, когато движението е едномерно, криволинейният интеграл се свежда до прост и тогава ще имаме:

[tex]A = \int_{a}^{b}\vec{F}.\vec{n}dr = \int_{x_1}^{x_2}F_xdx[/tex], т.е., в този прост случай работата се изразява чрез обикновен определен интеграл, защото кривата всъщност е права.