Допирателни към конични сечения

[Lubo]

Здравейте,

Някъде през миналата година, мисля с Ianikia, имахме интересна дискусия чрез т.наречените 'Perssonal messages' на тема допирателни към конични сечения.

Малко повторение от това време. Дадена е елипса/парабола/хипербола и произволна точка на нея.
Постройте с линийка и пергел допирателната към елипсата/параболата/хипербола в тази точка. Различните криви се третират по много сходен начин при тези построения.



Кратките, прости и оригинални решения са за предпочитане.

Любо

[Реклама]

[nikko1]

Ако знаем къде са фокусите, както е на картинката, то задачата е елементарна.
Нека означим с M точката от правата, в която търсим допирателна. Построяваме отсечките [tex]F_1M[/tex] и [tex]F_2M.[/tex] След това и правата l, която е ъглополувяща на ъгъла [tex]F_1MF_2.[/tex] Накрая допирателната [tex]d[/tex] е права през т. М, която е перпендикулярна на ъглополувящата l.
Това следва от оптичното свойство на елипсата - всеки лъч през единия фокус се отразява и минава през другия и понеже ъгла на падене е равен на ъгъла на отражение, то двата ъгъла са равни и са означени с [tex]\alpha[/tex] (понеже са равни допълненията им до прав ъгъл.)