Пресметнете прозиводна

[Infernum]

Пресметнете прозиводната на функцията

[tex]f(x)=\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} +\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)} +\frac{(x-c)(x-b)}{(a-c)(a-b)} [/tex]

ако [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] са различни реални числа.

[Реклама]

[cub]

не знам защо получих 0... нещо мн се разбързах май, би ли написал отговора, аз ще гледам да напиша решението си скоро :/

[Fed]

Едно много странно решение от мен. Не съм сигурен дали е вярно (ако има нужда ще помоля r2d2 да изкаже мнение, защото решението е продиктувано от един негов жокер в една друга тема):

[tex]\frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} +\frac{(x-a)(x-c)}{(b-a)(b-c)} +\frac{(x-c)(x-b)}{(a-c)(a-b)} [/tex]

представлява интерполационния полином на Лагранж за някоя ф-я Р(х), за която Р(а)=Р(b)=P(c)=1. Вижда се, че тази функция Р(х) е най-много квадратна (може да е и линейна и константа). Следователно тя расте в един интервал и намалява в друг един. Следователно тя приема една с-ст за най-много 2 хикса. За да приеме една с-ст за три различни числа a,b и c ( Р(а)=Р(b)=P(c)=1 ) тя трябва да е линейна. Оттук f ' (x) = P ' (x) = 0.

Какво мислите?

[cub]

аз не мога да се изкажа мн компетентно, fed..
иначе аз си я решавах... по стандартния начин, смятам производната на трите поотделно (изнасям 1/знаменателя отпред понеже е число) и събирам, не е кой знае колко дълго, след това си преработвам израза, който получавам за производна на трите, събирам и т.н.

[Fed]

Да, то е ясно че по стандартния н-н ще се получи.
А иначе производната наистина трябва да е 0. Начертах си графиката на Microsoft Math и тя е права линия.
Колкото до моето решение - нали след няколко месеца почвам с ФМИ. Трябва да свиквам...

[omeganet]

Тук хитрината е следната:

[tex] f(x) = \frac{{(x - a)(x - b)}}{{(a - c)(b - c)}} - \frac{{(x - a)(x - c)}}{{(a - b)(b - c)}} + \frac{{(x - c)(x - b)}}{{(a - c)(a - b)}} = \\ = \frac{{(a - b)(x^2 - (a + b)x + ab) - (a - c)(x^2 - (a + c)x + ac) + (b - c)(x^2 - (b + c)x + bc)}}{{(a - b)(a - c)(b - c)}} = \\ = \frac{{x^2 (a - b - a + c + b - c) - x(a^2 - b^2 - a^2 + c^2 + b^2 - c^2 ) + ab(a - b) - ac(a - c) + bc(b - c)}}{{(a - b)(a - c)(b - c)}} = const \\ [/tex]

[soldier_vl]

omeganet много хубаво решение!!!

[xyz]

Fed е напълно прав с първото си наблюдение - така прилагането на метод с изчисления не е нужен. Може, обече да се процедира по-общо - без да се разглежда вида на квадратната функция. Вярно е следното правило:
Ако полином от n степен има n+1 различни нули, то той е нула.
Това правило се доказва лесно. Ако полиномът не е нула, то можем да делим последователно на (x-a_i), където a_i пробягва всичките n+1 корена. При всяко деление ще получим полином от степен с 1 по-малка от предишния (остатък естествено няма да имаме, защото a_i са корени). Накрая ще получим полином от отрицателна степен, което е глупост. Така още в началото ще трябва да имаме полином от степен [tex]-\infty[/tex], т.е. 0.
В тази задача, тъй като очевидно имаме функия от най-много 2-ра степен, а разликата й с полинома f(x)=1 има 3 нули, следователно е нула.

[Infernum]

Функцията [tex]f(x)[/tex] е квадратна и нейната графика в общия случай е една парабола. Тъй като

[tex]f(a)=f(b)=f(c)=1[/tex]

и [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] са различни, следва, че параболата минава през три различни точки с еднакви ординати, следователно тя е права линия (докажете), следователно [tex]f(x)[/tex] е константа, откъдето [tex]f'(x)=0[/tex].

[Infernum]