сума на ред

[Infernum]

Намерете сумата на реда
[tex]\sum_{k=1}^{ \infty}\frac{1}{k2^k} [/tex]

[Реклама]

[xyz]

Не ми се смята, но ми се струва, че задачата е лесна. Производната на функцията [tex]\sum_{k=1,2,\dots} (x^k)/k[/tex] е [tex]1+x+x^2+x^3+\dots = {1 \over 1-x}[/tex]. Така, необходимо е да интегрираме [tex]{1 \over 1-x}[/tex] и да изчислим стойността в точката 1/2. Така ли се решава?

[vladob]

Од тоа што за |x|<1
[tex]1+x+x^2+...+x^k+...=\frac{1}{ 1-x} [/tex]
со почлено интегрирање добиваме

[tex]x+\frac{x^2}{2 } + ... +\frac{x^k}{ k}+...=-ln|1-x|[/tex]

Односно [tex]\sum_{k=1}^{\infty }\frac{x^k}{k }=-ln|1-x| [/tex]

Конкретно за [tex]x=\frac{1}{2 }[/tex]
[tex] \sum_{k=1}^{\infty }\frac{1}{k 2^k }=-ln|1-\frac{1}{ 2}| = -ln \frac{1}{ 2}=ln 2 [/tex]