Екстремална задача?

[bat_zlat]

Помогнете малко за тази задачка. Може да е лесна, но аз не се сещам как става

Даден е ▲ABC със страни AC=4 и BC=3 и <ACB=γ. Отсечката CL е ъглополовяща на <ACB. Окръжността определена от точките A, L и C, пресича страната BC във вътрешна точка F. Намерете лицето на ▲AFC и определете при каква стойност на γ това лице е най-голямо.

[Реклама]

[Methuselah]

[bat_zlat]

Ми така е защото бързах да я напиша и не съм гледал много много какво пиша

[bat_zlat]

Така е по-добре като чели

[omeganet]

Ако не съм объркал нещо в сметките получавам за лицето:

[tex]s = \frac{8}{7}\left( {6.\cos \gamma - 1} \right).\sin \gamma [/tex]

[bat_zlat]

omeganet мното си добър! Точно толкова е. Ще ми пост-неш ли решение И добави ако може и частта със стойността на γ, за която лицето на ▲AFC е най-голяма. Благодаря предварително.

[omeganet]

Свойство на секущите:
[tex] BF.BC = BL.BA = > BF = BC - CF = \frac{{BL.BA}}{{BC}} \Rightarrow CF = BC - \frac{{BL.BA}}{{BC}}[/tex]

Свойство на ъглополовящата:
[tex]\frac{{BL}}{{AL}} = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow BL = \frac{3}{7}AB \\ \\ AB^2 = 9 + 16 - 24.\cos \gamma = 25 - 24.\cos \gamma \\ CF = BC - \frac{{BL.BA}}{{BC}} = 3 - \frac{{AB^2 }}{7} = \frac{{24.\cos \gamma - 4}}{7} \\ S_{AFC} = \frac{1}{2}AC.CF.\sin \gamma = \frac{8}{7}(6.\cos \gamma - 1).\sin \gamma = f(\gamma ) \\ f(\gamma ) = (6.\cos \gamma - 1).\sin \gamma \\ f'(\gamma ) = - 6.\sin ^2 \gamma + (6.\cos \gamma - 1).\cos \gamma = - 6(1 - \cos ^2 \gamma ) + 6.\cos ^2 \gamma - \cos \gamma \\ f'(\gamma ) = 12.\cos ^2 \gamma - \cos \gamma - 6 = 12(\cos \gamma + \frac{2}{3})(\cos \gamma - \frac{3}{4}) \\ f(\gamma ) > 0 \Rightarrow \cos \gamma > \frac{1}{6} \\ \max f(\gamma ) = f\left( {\frac{3}{4}} \right) \\ [/tex]