Развитие в ред на функцията cos x

[Volen Siderov]

Интересува ме, ако може да дадете повече информация (доказателство) на равенството:

[tex]cos x = \sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}[/tex]

Или саит за повече информация. Благодаря.

[Реклама]

[Infernum]

Ако от известен ред нататък, производните на дадена функция f(x) са ограничени, т.е. за всяко |x| <= a е изпълнено

|f⁽ⁿ⁾(x)|<=C,

(C = const>0), то в този интервал f(x) е развиваема в ред от вида:

f(x) = f(0) + ∑_k=1..∞f^(k)(0)x^k/k! (*)

Доказателство:

От формулата на Маклорен за функцията f(x) имаш:

f(x) = f(0) + ∑_k=1..nf^(k)(0)x^k/k! + f⁽ⁿ⁺¹⁾(θx)xⁿ⁺¹/(n+1)!

(0 < θ < 1)

Трябва да се покаже, че при горните условия, последният член клони към нула при n->∞.
Тогава сумата на получения ред ще е точно f(x).

Понеже -a <= x <= a, то и -a< θx < a, следователно

|f⁽ⁿ⁾(θx)|<=C

Тогава

|f⁽ⁿ⁺¹⁾(θx)xⁿ⁺¹/(n+1)!| <= Caⁿ⁺¹/(n+1)! ->0 при n->∞ (за подробности виж http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=2981).

Конкретно за функцията f(x) = cos x имаш:
|f⁽ⁿ⁾(x)| = |cos(x+nп/2)|<= 1 за всяко х.

Тогава реда (*) за f(x) = cos x е:

cos x = cos 0 + ∑_k=1..∞ cos(0+kп/2)x^k/k! = ∑_k=0..∞(-1)^kx^2k/(2k)!

Този ред е сходящ за всяко реално х и сумата му е функцията cos x.

Степенните редове са удобно средство за пресмятане на прибижени стойности на функции. На тая база са написани и добре известните четиризначни таблици за учениците.