Екстремална задача - трапец

DevilFighter

В окръжност с радиус R е вписан трапец, на който една от основите има дължина R√3, като центърът на окръжността е вътрешна точка за трапеца. Да се намери ъгълът между диагонал и основата на трапеца, за който лицето на трапеца е възможно най-голямо.

Реклама

uktc · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 12:46 pm Заглавие:

Получих, че тангенса на търсения ъгъл е
[tex]\sqrt{6}+\sqrt{3}-\sqrt{2}-2[/tex] Laughing

Отговор имаш ли?

DevilFighter · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 12:55 pm Заглавие:

Търсеният ъгъл е 40°, аз по няколко начина я решавам и стигам все до отговор 45°. Rolling Eyes

uktc · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 1:08 pm Заглавие:

Аз пък получавам [tex]\frac{75^o}{2}[/tex]...
По-близо съм Cool

teddy · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 2:24 pm Заглавие:

еми аз така я реших:трапецът е ABCD, центърът на окръжността е О. Ъгъл[tex] \angle [/tex]COB=2[tex]\alpha[/tex] =2[tex]\angle[/tex] CAB =>[tex] \angle[/tex] CAB=[tex]\alpha[/tex]. АВ=R[tex]\sqrt{3}[/tex]. Прилагам косинусова теорема за АВО и оттам=>[tex]\angle[/tex] AOB=120 [tex]\angle [/tex]OAB=[tex]\angle[/tex]OBA=30 => [tex]\angle[/tex]CAO=[tex]\alpha [/tex]-30=[tex]\angle[/tex]ACO [tex]\angle [/tex] AOC=120-2[tex]\alpha [/tex] От AOC: AC²=2R²(1+cos2[tex]\alpha [/tex])
S=AC²sin(180-2[tex]\alpha [/tex])/2
производната е 2cos2[tex]\alpha [/tex]+cos4[tex]\alpha [/tex]-[tex]\sqrt[2]{3} [/tex]sin4[tex]\alpha [/tex]. След малко преобразувания се получава 2cos(30-[tex]\alpha [/tex])cos(3[tex]\alpha [/tex]-30), откъдето имаме 2 решения, от които само [tex]\alpha[/tex]=40 влиза в ДС (и е максимум естествено)

Lothar · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 2:56 pm Заглавие:

Аз за лице получавам S=2R^2 * sin(60+a)sin2a

все нещо обаче бъркам докато му смятам производната

uktc · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 3:49 pm Заглавие:

DevilFighter · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 3:52 pm Заглавие:

Аз точно като teddy бях получил производната, но явно не съм успял да направя тези преобразувания. Сега пак ще я прегледам......

uktc, решението ти е много добро и опростено. Smile

r2d2 · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 3:55 pm Заглавие:

uktc, Маитапа настрана, ако ми станеш студент и определяш мах и мин с втора производна ще ти скъсам ушите Laughing

Това е само за УНСС!

uktc · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 3:58 pm Заглавие:

r2d2 · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 4:02 pm Заглавие:

айде сега, пишейки оная тема подчертах, че не се броят грешки от клавиатура! Embarassed

Правилно е, но е тъпо! (Затова даскалиците са му фенки Twisted Evil

)

uktc · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 4:09 pm Заглавие:

Моя даскал, който също е възпитаник на ФМИ(r2d2, не знам дали го познаваш, Любо Кузманов се казва, математика научен профил е завършил, в групата на Керопе Чакърян е бил. От Ботевград е. Доколкото знам е имал преподавателска дейност във ФМИ.), като му написах веднъж подобно решение, цял час ми повтаря на каква "инженерна" математика са ни учили в училище Embarassed

! Умрях си от срам Embarassed

. Ама понеже знам, че той не влиза тук, си написах това решение Laughing

DevilFighter · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 4:11 pm Заглавие:

Е защо не е правилно с втора производна, аз знам, че и така може да се определят лок. екстремуми(това е по-мързеливия начин.

П.П. За r2d2 : f'(y) > 0 <=> y E (0; 2∏/9) - функцията расте ; f'(y) < 0 <=> y E (2∏/9 ; ∏/2) - функцията намалява => max f(y) = f(2∏/9)

r2d2 · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 4:19 pm Заглавие:

Това правило (за втората производна) е измислено от гениалният математик Ферма.
По това време още никой не е измислил производните, а Ферма си направил правила за да намира екстремуми на полиноми.
Този човек (извънземно) би се обърнал в гроба, ако разбере, че някой използва това правило за определяне на вида на екстремума![/list]

r2d2 · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 5:00 pm Заглавие:

Fed, да оставим нещо и за ФМИ!

Fed · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 5:20 pm Заглавие:

uktc · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 7:22 pm Заглавие:

r2d2, а би ли приел следната аргументация?
Тъй като в интервала [tex]y \in (0;90^o)[/tex], f''(y)<0, то в този интервал f(y) е вдлъбната. Но тъй като при [tex]y=40^o[/tex] първата производна е нула и [tex]40^o \in (0;90^o)[/tex], то тогава имаме максимум.
По този начин избягвам глупавото проверяване какво става с f'' само в една точка от интервала.
Question

slavcho · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 9:15 pm Заглавие:

uktc · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 9:22 pm Заглавие:

Извинявам се, просто ме домързя да описвам подробно Embarassed

Лицето на ▲AOB е фиксирано, защото знаем и трите му страни! Те са R, R и R√3.
По косинусовата теорема за <AOB пресмятаме <AOB=120*. Нека сега <AOD=<BOC=θ. Сега имаме 2y+2θ+120*=360*=>θ=120*-y.
Дано е станало ясно...

Toni · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 10:31 pm Заглавие:

DevilFighter · Пуснато на: Sun Jul 22, 2007 6:43 am Заглавие:

И аз съм на мнението, че понякога е по-добре да се определят екстремуми с помощта на втора производна. Има случаи, когато се получават нечовешки първи производни и съответно е трудно да се намерят нулите на производната, та камо ли интервалите, в които е > или < от 0.

П.П. r2d2, прав си за даскалиците! Very Happy

uktc · Пуснато на: Sun Jul 22, 2007 7:49 am Заглавие:

Аз малко неправилно, че даже и грешно се изразих, че f'(y) е нула само в 40^o и -120^o. Тя е нула на безброй много места, но нас ни интересува само y=40^o.

martin_bg · Пуснато на: Sun Jul 22, 2007 10:18 am Заглавие:

Липсва само и коментар на Колев в тази тема ... Laughing

r2d2 · Пуснато на: Sun Jul 22, 2007 9:12 pm Заглавие:

Няколко коментара:

Думата даскалица, която съм употребил, поне за мен означава посредствена учителка.
За мое щастие (или нещастие) съм имал учителки по математика, които никога не бих нарекъл даскалица. Не съм употребявал думата тъп.
от твърдението "Даскалица" => "фенка" не следва твърдението "фенка"=>"даскалица".

Девил, ще ме светнеш ли, как ако не можеш да намериш нулите на първата производна, знаеш с какво да заместиш във втората?

Фед, има пример на функция, за която всичките производни в точката подозрителна за локален екстремум са равни на 0, т.е. правилото на Ферма е неприложимо. Това и други неща имах предвид като написах "да оставим нещо и за ФМИ".

slavcho · Пуснато на: Sun Jul 22, 2007 9:33 pm Заглавие:

Според мен намирането на екстремумите с втора производна понякога е бързо, но не кара учениците малко да се замислят (говоря като някой учител, макар че съм зрелостник Smile

А като се направи едно псевдо-чертежче с нулите на производната и се покаже къде расте и къде намалява, всичко е наред...

Fed · Пуснато на: Sun Jul 22, 2007 9:39 pm Заглавие:

nikoleto · Пуснато на: Sun Jul 22, 2007 11:14 pm Заглавие:

НЕка и аз да си сложа мнението относно намирането на екстремуми при f'(x)=0 и изследване на знака на f''(x)...макар че вие си изчерпахте темата! Не смятам че човек трябв да се ограничава от някакви предели, а просто да използва всички възможни начини за да постигне рационално и разбира се правилно решение..а нее.."очевидно b=0" Wink

. В този ред на мисли не е ли доста по-елегантно и рационално и лесно и т.н. в някои задачи да използваме и втората производна при намирането на екстремуми...ии защо въобще това бе обект на коментиране като този начин си е в реда на нещата!